20/08/2014
Angela Cristina dos Santos, Antomar Ara,ujo Ferreira, Ederson de Oliveira Passos.
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Educação de Jovens e Adultos - 2º ciclo | Matemática | Proporcionalidade e Equivalência |
Ensino Fundamental Final | Matemática | Aritmética |
Ensino Fundamental Final | Matemática | Números e operações |
Ensino Fundamental Final | Matemática | Sistema de numeração decimal |
Ensino Médio | Matemática | Números e operações |
A fim de desenvolver competências da área 1 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais, essa aula tem por objetivo criar situações, as quais o aluno é levado a exercitar a habilidade de identificar padrões numéricos ou princípios de contagem (H2) e de avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas (H4). Para atingir a esses objetivos, tem-se como meta fazer com que o aluno tenha a oportunidade de:
Para o desenvolvimento da aula, o aluno deverá ter o conhecimento sobre:
Para o desenvolvimento das atividades, aqui propostas, o aluno deverá dispor de uma calculadora simples e também de papel e lápis, para registro.
Antes de iniciar a aula, reveja com os alunos:
Para a retomada dessas questões, sugere-se consultar as aulas
Inicie a aula, apresentando aos alunos a seguinte situação:
Deixe que os alunos encontrem o resultado. Espera-se que durante as discussões os alunos recorram à fração decimal. Nesse caso, achando a fração equivalente à dada com denominador 10, isto é:
Questione os alunos:
Nesse momento, caso nenhum aluno se manifeste, retomar com os alunos que toda fração pode representar uma relação, a parte de um todo ou, então, o resultado de uma divisão.
No presente caso, a fração pode representar o resultado de uma divisão. Assim, peça para os alunos utilizarem a calculadora para conferirem o resultado.
COMENTÁRIO: Professor(a), se achar necessário, apresente mais alguns exemplos de frações, que têm uma equivalente decimal, para que os alunos possam transformá-las.
Apresente, agora, a seguinte situação:
Solicite aos estudantes que resolvam a situação, utilizando ou não a calculadora, por meio de uma fração decimal, equivalente à fração dada.
É esperado que os alunos tentem fazer a multiplicação dos termos da fração por 3, 33, 333 e assim por diante. Procedendo desse modo, chegarão a valores próximos a 10, 100, 1000, etc., sempre com uma diferença de uma unidade.
Caso façam a sugestão de acrescentar a unidade aos valores encontrados, explique-lhes que, nesse caso, não estariam determinando uma fração equivalente, que só pode ser encontrada multiplicando-se ou dividindo-se os termos da fração por um mesmo número natural, diferente de zero.
Deixe-os discutirem outras soluções e, então, pergunte-lhes:
É aguardada uma resposta negativa.
Espera-se que percebam que 10, 100, 1000, ...não são números múltiplos de três.
Espera-se que, devido ao exemplo anterior, que os alunos digam que é por meio da divisão dos termos da fração.
Peça então para que, utilizando a calculadora e efetuando a divisão, encontrem e escrevam o valor da fração na forma decimal. O valor a ser encontrado é:
Questione:
Dependendo da calculadora do aluno, o número de casas decimais pode ser maior ou menor. A partir dessa discrepância, discutir qual seria realmente o número de casas decimais do número apresentado. Caso essa discrepância não surja, questione novamente:
Para tirarem a prova, solicite que façam a operação, usando o algoritmo da divisão:
Ao fazer a divisão, ressalte a relação entre as ordens, por exemplo:
1) Ao dividirmos 2 unidades por 3, o resultado é zero unidades e restam 2 unidades.
2) As duas unidades restantes equivalem a 20 décimos – daí a justificativa da vírgula, que separa a parte inteira da parte decimal – que divididos por 3, tem como resultado 6 décimos e sobram 2 décimos.
3) Os dois décimos restantes equivalem a 20 centésimos que, divididos por 3, tem como resultado 6 centésimos e sobram 2 centésimos, e assim sucessivamente.
Proceda fazendo as equivalências até completarem as casas decimais apresentadas no visor da calculadora. Em seguida questione:
É aguardada uma resposta negativa
Espera-se que os alunos percebam que é possível continuar com a divisão indefinidamente
Espera-se que os alunos respondam que possui infinitas casas decimais.
Espera-se que a resposta seja negativa e, também, que eles justifiquem apontando que, desse modo, estariam afirmando que o número teria apenas 6 casas decimais.
Apresente, nesse momento, a fração dois terços como um número decimal com casas decimais infinitas.
Questione:
Resposta esperada: No caso, da matemática, significa que a operação (divisão) não está finalizada, que continua indefinidamente.
COMENTÁRIO: Faça uma analogia com a pontuação da Língua Portuguesa: sinal gráfico que significa algo por terminar, continuidade (frases incompletas).
Espera-se que eles percebam que a barra indica que ao fazer a divisão, o termo que se repete indefinidamente é representado pelo algarismo 6.
Após todas as considerações, apresente aos alunos os termos Fração Geratriz e Dízima Periódica, relacionando-os com a fração dada e sua representação decimal.
Questione:
Deixe os alunos expressarem suas ideias e, em seguida, esclareça que Fração Geratriz é toda fração que gera uma dízima periódica*.
*Definição adaptada, disponível em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/fracao-geratriz.htm, acesso em 18 ago. 2014.
Deixe os alunos expressarem suas ideias. Espera-se que eles relacionem os termos com o número infinito de casas decimais, no entanto, ressalte que as duas palavras têm significados distintos:
− Dízima: número decimal com infinitas casas decimais.
− Periódica: apresenta um período que é um termo que se repete indefinidamente, sem repetição. No caso da situação dada, o período é 6.
Explicite aos alunos que como uma dízima periódica apresenta sempre um período, se forem utilizar a notação com reticências “(...)”, podem citar o período apenas duas vezes, isto é:
0, 666666 = 0,66... .
Para finalizar esse momento da aula, peça aos alunos para definirem uma dízima periódica. Esperam-se respostas semelhantes a:
ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO:
1) Usando o algoritmo da divisão indique se a as frações a seguir podem ser escritas por uma dízima periódica ou por um número decimal exato e, em seguida, escreva a relação de igualdade.
2) Use a calculadora e confira se os resultados obtidos na atividade 1 estão corretos, caso não estejam, refaça a divisão utilizando o algoritmo.
COMENTÁRIO: A atividade a seguir tem como propósito possibilitar ao aluno classificar os números decimais em: decimais exatos, dízimas periódicas e dízimas não periódicas.
A atividade consiste em um quadro que deve ser respondido e corrigido linha a linha. Ao chegar aos números que apresentam uma quantidade exata de casas decimais ou que representam um número decimal não exato, questione:
− No caso dos decimais exatos:
Caso o termo "exato" não surja, pergunte que tipo de divisão deu origem ao resultado apresentado. Espera-se que os alunos percebam que a divisão é exata (resto zero).
− No caso do número decimal não exato:
Espera-se que os alunos respondam que é uma dízima.
Se necessário, faça uma correspondência com a definição de dízima periódica, isto é, se quando se tem um período é periódica, quando não se tem é não periódica
3) Para cada fração a seguir, apresentada no quadro, dê a sua classificação (fração decimal ou fração não decimal), a sua representação decimal e responda a duas questões:
Questão 1) Quantas são as casas decimais desse número?
Questão 2) Esse número apresenta um período?
Após responder às questões anteriores, classifique os números decimais encontrados.
Quadro: Atividade para classificação dos números decimais.
Fonte: autores.
COMENTÁRIOS:
* Caso o aluno questione o porquê de alguns números não apresentarem fração, é importante ressaltar que nesses casos o resultado (decimal) não foi obtido por uma divisão, se necessário explore a calculadora apresentando a raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito, o número 2 (dois), por exemplo.
** Se achar mais pertinente, resolva com os alunos as três primeiras linhas, corrigindo-as uma a uma e, em seguida, deixe um tempo para resolverem as demais, nesse caso, é interessante apresentar mais frações.
*** Explore, nessa atividade, a calculadora.
4) Escreva (E) para os números decimais exatos, (P) para as dízimas periódicas e (N) para as dízimas não periódicas :
Para fundamentação teórica e/ ou exploração de atividades (exercícios), o professor pode acessar os sites a seguir:
- http://www.somatematica.com.br/fundam/dizimas.php. Acesso em 18 ago. 2014.
- http://www.ngmatematica.com/2011/03/dizimas-periodicas-simples-e-composta.html. Acesso em 18 ago. 2014.
- http://www.somatematica.com.br/fundam/operacoes/operacoes7.php. Acesso em 18 ago. 2014.
- http://www.somatematica.com.br/soexercicios/dizimas.php. Acesso em 18 ago. 2014.
- http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=365. Acesso em 18 ago. 2014.
- http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoGeratrizDizimaPeriodica.aspx. Acesso em 18 ago. 2014.
- http://www.coladaweb.com/matematica/dizimas-periodicas. Acesso em 18 ago. 2014.
Como atividade de fixação, o professor pode indicar, aos alunos, um jogo envolvendo dízimas (transformação), disponível em: https://www.mangahigh.com/pt-br/jogos_matematicos/numerais/decimais/converter_dizimas_periodicas_em_fracoes . Acesso em 18 ago. 2014.
O professor também pode utilizar, em sua aula, os vídeos:
- “Dízimas periódicas”, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=HNtlfzW1Kcg. Acesso em 18 ago.
- “Básico: divisão”, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=SmoAfOlSp88. Acesso em 18 ago. 2014.
- “Técnicas de cálculo de divisão”, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=6t2IQOiLDGA. Acesso em 18 ago.
A avaliação deve ser feita em todos os momentos, por meio:
O resultado dessa avaliação fornecerá subsídios para estudos posteriores envolvendo números decimais, em particular, as dízimas periódicas e transformações.
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