A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como desenvolver a habilidades de  interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22), é proposto como objetivo para esta aula, levar o aluno à compreensão dos conceitos de retas paralelas, concorrentes e perpendiculares.

2 horas/aula (50 minutos cada).

Noções de ângulos, ponto, reta e plano.

Esta aula é continuação das aulas:

O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 1: estudando a noção de plano.Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56785. Acesso em 28 de Julho de 2014.

O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 2: estudando a noção de ponto. Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57106. Acesso em 13 set. 2014.

O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 3: estudando a noção de reta.Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57107. Acesso em 13 set. 2014.

 

Comentário: Esta aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação:

Para esta aula, espera-se que as noções de ponto, reta e plano já tenham sidoestudadas com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

PRIMEIRO MOMENTO: Revendo os conceitos.

 

Professor(a), inicie a aula retomando com os alunos os conceitos de ponto, reta e plano. Caso seja necessário, reveja as aulas que precedem esta.

Peça para os alunos abrir o software e, para facilitar os estudos, ocultem os eixos cartesianos. Para isto, basta clicar com o botão direito do mouse sobre um dos eixos e selecionar a opção Eixos (figura 2).

 

Figura 2: Ocultar os eixos cartesianos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Feito isto, peça para os alunos construírem uma reta qualquer. Para esta construção, devem selecionar a opção Reta (Dois Pontos) na barra de ferramentas (figura 3) e, em seguida, clicar sobre dois pontos distintos na área de trabalho do GeoGebra (figura 4).

 

Observação: Após selecionar a opção Reta (Dois Pontos) se os dois pontos já existirem, basta clicar sobre eles, caso contrário, ao clicar sobre a tela onde não há um ponto, o software cria um ponto automaticamente neste local.

 

Figura 3: Como construir uma reta passando por dois pontos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Figura 4: Reta passando pelos pontos                A e B.

Fonte: Arquivo do autor.

 

SEGUNDO MOMENTO: Construindo retas paralelas.

 

Após construírem a reta, peça aos alunos para clicarem sobre a seta no canto inferior direito, como indicado na figura 5, e em seguida selecionarem a opção Reta Paralela.

 

Figura 5: Como construir uma reta paralela.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Em seguida, solicite aos alunos que cliquem sobre um ponto qualquer (C), FORA da reta e depois sobre a reta. Será criada uma nova reta paralela a anterior passando pelo ponto que foi clicado, fora da reta (figura 6).

 

Figura 6: Reta paralela à reta inicial.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Então questione:

- Qual objeto que apareceu?

Espera-se que os alunos respondam que foi construída uma nova reta.

- Estas retas se intersectam?

Espera-se que os alunos percebam que estas duas retas não se intersectam.

 

Comentário: Para que se torne mais visível para os alunos, peça para eles arrastarem a tela do GeoGebra em ambos os sentidos das retas, para que eles percebam que estas retas permanecem a uma mesma distância entre si, ou seja, não possuirão um ponto em comum.

 

Após os alunos, de fato, perceberem que estas duas retas não se intersectarão, defina para eles estas retas como sendo paralelas.

 

TERCEIRO MOMENTO: Construindo retas concorrentes.

 

Para dar continuidade, peça para que os alunos desfaçam a reta paralela à reta inicial, para isto basta pressionar, simultaneamente, as teclas Ctrl e z.

 

Peça agora para os alunos construírem uma segunda reta passando por dois pontos (figura 3), onde um deles é o ponto A e o outro (o ponto C) esteja fora da reta construída (figura 7).

 

Figura 7: Reta concorrente.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Então questione:

- Estas retas se intersectam? Em quais pontos?

Espera-se que os alunos percebam que estas retas se intersectam apenas no ponto A.

 

Comentário: Para uma melhor percepção dos alunos, peça para que eles movimentem a tela do GeoGebra para visualizarem que estas retas não irão se intersectar em outro ponto.

 

Após os alunos perceberem que estas retas se intersectam em um único ponto, definir estas retas como sendo concorrentes.

 

QUARTO MOMENTO: Construindo retas perpendiculares.

 

Para dar continuidade, peça para que os alunos desfaçam a reta concorrente à reta inicial, para isto basta pressionar, simultaneamente, as teclas Ctrl e z.

Peça agora para os alunos selecionarem a opção Reta Perpendicular (figura 8) na barra de ferramentas. Em seguida, cliquem sobre um ponto fora da reta e depois sobre a reta.

 

Figura 8: Como construir uma reta perpendicular.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 9: Reta perpendicular à reta inicial.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Então questione:

- Qual objeto que apareceu?

Espera-se que os alunos respondam que foi construída uma nova reta.

- Estas retas se intersectam?

Espera-se que os alunos percebam que estas duas retas se intersectam em um único ponto. Portanto, são concorrentes.

- No entanto, estas retas concorrentes possuem uma característica a mais, qual é?

É esperado que os alunos percebam que estas retas formam um ângulo reto.

 

Para os alunos visualizarem tal propriedade, peça para que selecionem a opção Ângulo (figura 10) e, em seguida, cliquem sobre cada uma das retas, para medir o ângulo formado por elas (figura 11).

 

Figura 10: Como medir um ângulo entre duas retas.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 11: Ângulo formado pelas duas retas

Fonte: Arquivo do autor.

 

Após os alunos visualizarem que estas duas retas formam um ângulo de 90º, definir estas retas como sendo perpendiculares ou ortogonais.

 

QUINTO MOMENTO: Atividades de contextualização.

 

Após o estudo dos conceitos, apresente aos alunos as seguintes questões para a contextualização do conteúdo.

1-      Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

Fonte: http://recuperaguri.blogspot.com.br/2012/10/atividade-4-bimestre-para-as-turmas-de.html. Acesso em 13 set. 2014.

 

a)      r e s são concorrentes.

b)      r e t são concorrentes.

c)      s e t são paralelas.

d)     s e p são paralelas

e)      r e p são perpendiculares.

f)       p e t são paralelas.

 

2-      As retas a seguir foram representadas sobre uma malha quadrangular.

Fonte: http://blog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2013/04/atividades_6c2ba-ano_spe-ef62_mat_aluno-250313.pdf. Acesso em 13 set. 2014.

 

a)      Quais são retas paralelas?

b)      Quais retas são concorrentes à reta p?

c)      Quais retas são perpendiculares à reta p?

d)     Quais retas são paralelas, concorrentes e ortogonais a u?

 

3-      De acordo com a posição dos pontos e das retas desenhadas no quadro de giz, responda às questões.

 

Fonte: http://blog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2013/04/atividades_6c2ba-ano_spe-ef62_mat_aluno-250313.pdf. Acesso em 13 set. 2014.

 

a)      Quais retas são concorrentes e quais são paralelas?

b)      Quais pontos pertencem à reta t?

c)      O ponto C pertence a quais retas?

d)     Qual ponto pertence à reta r, mas não pertence à reta t?

e)      Quais pontos não pertencem às retas r, s ou t?

Para complementar o estudo de pontos, retas, planos, semirretas, semiplanos:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm#m112a02. Acesso em 18 de Julho de 2014.

http://www.sofazquemsabe.com/2011/11/nocoes-fundamentais-da-geometria-ideias.html. Acesso em 18 de Julho de 2014.

http://egeom.blogspot.com.br/2011/11/pontoreta-e-plano-conceitos-primitivos.html. Acesso em 18 de Julho de 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínua, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.