Esta aula busca desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

 

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, desenvolver a habilidade de:

 

• Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20).

 

Para isto são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• localizar e visualizar pares ordenados utilizando o software GeoGebra;
• observar a relação de dependência entre as coordenadas estabelecidas a partir de algumas relações entre conjuntos.

2 horas/aula de 50 minutos.

• Relações entre elementos de dois conjuntos.
• Localização de pares ordenados no Plano Cartesiano (x,y).

Essa aula foi desenvolvida para se passar no laboratório de informática, pois será necessário utilizar o software GeoGebra que está disponível em http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/ (acesso 14 set. 2014). Caso o laboratório não esteja disponível, é importante providenciar um projetor e um computador para a sala de aula.

 

A proposta é uma sequência das aulas:

 

• Funções:  construindo relações entre conjuntos no papel e no GeoGebra – Parte 1. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57094 (acesso 19 set. 2014).
• Funções:  construindo relações entre conjuntos no papel e no GeoGebra – Parte 2. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57466 (acesso 19 set. 2014).

 

O objetivo dessa coletânea de aulas é contribuir para o ensino de funções em Matemática por meio da utilização do software GeoGebra. A ideia é iniciar as discussões a partir de relações entre elementos de diferentes conjuntos (Parte 1) e, posteriormente, observar os elementos no programa de computador, bem como a forma que podem ser movimentados no plano cartesiano ao modificar suas coordenadas (x,y).

 

Nessa aula, a ideia é trabalhar com as construções feitas na aula anterior (Parte 2) para introduzir a noção de função.

 

A aula

 

Professor(a), inicie as discussões retomando o que foi trabalhado na aula “Funções:  construindo relações entre conjuntos no papel e no GeoGebra – Parte 2”  enfatizando a sua atividade avaliativa:

 

- Utilizando controles deslizantes crie uma forma de mover o ponto na diagonal.

 

Questione quais alunos(as) construíram os controles deslizantes de modo a mover o ponto na diagonal. Ouça as respostas de modo a socializar com toda a turma e construa uma delas.

 

COMENTÁRIO: Professor(a), sugiro que analise essa construção anteriormente ou durante a correção da atividade avaliativa, de modo a facilitar a construção dos controles deslizantes.

 

Como opção, sugiro solicitar que um(a) estudante possa ir até o computador cuja imagem é projetada (computador utilizado pelo(a) discente para socializar a aula) e reproduzir sua construção como exemplo aos demais, desse modo, valoriza-se ainda mais o conhecimento do(a) aluno(a). Caso ninguém se desponha, observe abaixo uma opção para construção:

 

Crie o controle deslizante.

 

 

Figura 1: Controle deslizante

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Escolha um nome. Nesse caso, a sugestão é utilizar “diagonal”.

 

 

Figura 2: Controle deslizante “diagonal”

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Por fim, crie um ponto segundo o par ordenado (diagonal, diagonal).

 

 

Figura 3: Criando o ponto no Geogebra

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Essa é uma das possíveis maneiras de fazer a construção solicitada na última aula.

 

A partir dessa construção saliente que é possível perceber que o movimento diagonal é criado a partir de uma relação específica, na qual a ordenada e abscissa são iguais. Ao observar um par ordenado da forma (x,y) é possível perceber que x = diagonal e y = diagonal. Portanto, nesse caso, x = y. A partir daí, questione se é possível obter outras relações entre x e y.

 

- Com base nas observações que foram feitas, é possível criar outras relações entre x e y?

 

Resposta esperada: Espera-se que digam sim devido aos demais exemplos da aula anterior.

 

Dessa indagação, solicite:

 

- Sendo possível, crie você um novo arquivo no GeoGebra, com um controle deslizante e um ponto cujas coordenadas tenham outras relações entre si.

 

Várias possibilidades podem ser criadas a partir dessa solicitação. No entanto, fique atento(a) aos estudantes para verificar se todos(as) estão conseguindo criar novas relações entre ordenada e abscissa a partir do controle deslizante. Caso não esteja, além de oferecer ajuda, sugere-se como alternativa a formação de duplas entre os(as) alunos(as). Segue um dos exemplos que poderão surgir:

 

 

Figura 4: Novo par ordenado

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Nesse caso, o “Controle deslizante” foi nomeado de “exemplo” e à abscissa foi adicionada uma unidade enquanto à ordenada foram subtraídas duas.

Em sala, tente socializar todos os exemplos criados.

 

COMENTÁRIO: Caso haja dificuldade na compreensão para se criar uma nova relação, intervenha com um exemplo semelhante ao apresentado acima.

 

O próximo passo é instigar os(as) alunos(as) a observarem separadamente a abscissa x e a ordenada y do ponto A. Tome o exemplo dado por alguém e descreva aos estudantes. Nesse caso,

 

x = exemplo

y = exemplo + 1

 

A partir daí, questione:

 

- Temos o controle direto sobre os valores do “exemplo” que, consequentemente, irão gerar valores para  x  e y. Com base nas observações é possível relacionar diretamente x  e y utilizando apenas uma igualdade?

 

Resposta esperada: Sim, é possível. Pode-se observar que, se x = exemplo e y = exemplo – 2, tem-se y = x + 1.

 

COMENTÁRIO: Vários outros exemplos podem ser criados pelos estudantes, contudo, inicie por relações simples quando for construir coletivamente com a turma.

 

Considere, durante a construção coletiva do exemplo, dependendo do valor escolhido para x, a ordenada y assumirá outro valor. O contrário também pode acontecer, ou seja, ao se escolher valores para y, determina-se valores para x.

Conclua a ideia esclarecendo que é possível criar diversas relações, de modo que a abscissa e a ordenada estejam relacionadas de modo que uma “depende” da outra. Esclareça também que é possível criar relações nas quais não se possa identificar uma relação de dependência entre abscissa e ordenada.

 

- Solicite aos estudantes que identifiquem a relação de dependência entre as coordenadas para as seguintes situações:

 

a) (exemplo, 2.exemplo)

 

Resposta esperada: y = 2.x ou x = y/2

 

b) (10.exemplo, exemplo)

 

Resposta esperada: y = x/10 ou x = 10.y

 

c) (exemplo+1, exemplo)

 

Resposta esperada: y = x + 1 ou x = y - 1

 

d) (20.exemplo-2, exemplo/2)

 

Resposta esperada: y =x/20 + 2ou x = 40.y -2

 

Outros exemplos podem ser criados. O objetivo é discutir a relação de dependência entre as variáveis. Leve os estudantes a observarem que, dependendo do valor que uma das variáveis (x ou y) assumem, a outra torna-se estabelecida, ou seja, uma está em função de outra. Essa é uma das maneiras para que se possa estabelecer a noção de função com os(as) alunos(as). Para concluir solicite que eles façam a construção no GeoGebra de uma das situações e que, ao criarem o ponto, habilitem seu rastro (essa opção é encontrada ao clicar com o botão direito do mouse sobre o ponto). Sugere-se que se escolha, a princípio, uma de fácil visualização. Observe a situação (exemplo, 2.exemplo).

 

OBSERVAÇÃO: É interessante para a construção desse exemplo que a exibição da malha e o incremento do controle deslizante sejam iguais, pois, dessa maneira a visualização da relação entre x e y se torna mais imediata. Para verificar as configurações da malha acesse o menu “Opções”, clique em “Avançado” e altere a configuração, conforme desejar, na aba “Malha”. Para alterar as configurações do incremento do “Controle deslizante”, basta clicar com o botão direito sobre ele e acessar a opção “Propriedades”.

 

Observe o resultado esperado na figura 5.

 

Figura 5: Pontos no plano cartesiano

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Com a construção fica fácil ver o que foi concluído na atividade anterior, isto é, y = 2.x ou x = y/2. Saliente com os(as) estudantes que quando x = 0 tem-se y = 0, ou seja, o dobro. Quando x = 1 tem-se y = 2, ou seja, o dobro. E assim por diante, tal como foi concluído na atividade. Encerre salientando que é possível observar o valor de uma das variáveis, ao se atribuir o valor de outra e que isso determina uma relação de dependência, que pode ser dita enquanto função: uma está em função da outra. Saliente também que, para cada valor apresentado, existe apenas um correspondente a ele (é possível observar a partir do(s) gráfico(s)).

 

Como atividade complementar, inclusive avaliativa, solicite a construção de uma nova relação (diferente de todas as propostas nas atividades), a reprodução dela no GeoGebra e um parágrafo narrando a relação de dependência observada.

 

Espera-se com essa aula que a introdução às funções seja apresentada sem grandes formalidades. Salienta-se que a ideia parte da observação dos pontos no plano cartesiano, por meio da experimentação. Ressalta-se que o propósito não é utilizar uma definição formal de função, mas, colocar os exemplos para que se possa construir a definição de função como caso particular da relação entre conjuntos.

Controle deslizante no GeoGebra

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=FujHk1LP57k (acesso 14 set. 2014).

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos(as) alunos(as). O(a) professor(a) deve salvar cópia dos arquivos do GeoGebra, bem como solicitar a entrega dos registros da atividade complementar, sendo eles digitais ou manuscritos.