A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como identificar características de figuras planas ou espaciais (H7) e resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8), é proposto para esta aula o seguinte objetivo

• Demonstrar, com o auxílio do GeoGebra, o Teorema da existência de uma Circunferência passando pelos Vértices de um Triângulo.

• Características e propriedades dos triângulos.
• Características e propriedades da circunferência.
• Propriedades de ângulos.
• Noções básicas do Software GeoGebra

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problema em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para resolver o problema proposto.

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em <http://migre.me/mfpDs>, acesso em 12 out. 2014. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 12out. 2014.

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra – apresentação:

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

Um aspecto importante a ser evidenciado é alertado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM – (BRASIL, 1999), que afirmam que a inserção de computadores na sociedade em geral “exigirá do ensino de matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (p.252).

Tais orientações e sugestões levam-nos a pensar que a utilização de computadores no ensino de matemática pode desencadear uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Esse fato exige uma nova concepção e formação de professor “que longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional” (BRASIL, 1998, p.44).

A AULA...

Por meio de animações construídas no Software GeoGebra, que serão utilizadas de forma dinâmica, os alunos deverão explorar os elementos da construção e veicular ideias e argumentos matemáticos para demonstrar os teoremas apresentados.

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas em momentos oportunos. Além disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multimídia conectado ao computador.

Sugerimos que inicie trabalhando as partes 1 e 2, disponíveis no portal do professor nas aulas "Geometria plana - parte 1: demonstrando, com o auxílio do GeoGebra, o Teorema da Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo", disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58230 e  "Geometria plana - parte 2: demonstrando, com o auxílio do GeoGebra, o Teorema dos Segmentos Congruentes da Mediatriz de um Segmento AB", disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58231. Acesso em 15 out. 2014.

TEOREMA 3 – DADO UM TRIÂNGULO ABC SEMPRE EXISTE UMA CIRCUNFERÊNCIA PASSANDO PELOS SEUS TRÊS VÉRTICES

Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que construam o triângulo ABC (figura 2).

Figura 2 – Triângulo ABC

Fonte: Arquivo da Autora

Solicite a construção das mediatrizes de cada lado do triângulo e marque o ponto O de intersecção entre elas (figura 3).

Figura 3 – Traçando as mediatrizes

Fonte: Arquivo da Autora

Levante as seguintes questões:

1)    Qual nome que recebe o ponto O?

Padrão de resposta esperado:

“O ponto O recebe o nome de circuncentro”.

2)    O que podemos dizer em relação ao ponto O e aos vértices do triângulo ABC?

Padrão de resposta esperado:

“Podemos dizer que a distância do ponto O a qualquer um dos vértices do triângulo ABC é a mesma.”.

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de mediatriz e ortocentro. Pode-se solicitar aos alunos que criem os segmentos AO, BO e CO no GeoGebra e verifiquem a congruência (figura 4).

Figura 4 – Verificando a congruência

Fonte: Arquivo da Autora

Solicite a construção da circunferência de centro O, passando por um dos vértices do triângulo (figura 5).

Figura 5 – Circunferência de centro O passando por um dos vértices do triângulo ABC

Fonte: Arquivo da Autora

Levante as seguintes questões:

1)    O que podemos dizer em relação aos outros vértices do triângulo ABC?

Padrão de resposta esperado:

“Os outros vértices do triângulo ABC também então contidos na circunferência de centro O”.

2)    O que podemos dizer em relação aos segmentos AO, OB e OC?

Padrão de resposta esperado:

“Os segmentos AO, OB e OC são raios da circunferência de centro em O”.

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de raio.

3)    O que podemos dizer em relação ao triângulo ABC e a circunferência de centro O?

Padrão de resposta esperado:

“Dizemos que o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O”.

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de “estar inscrito”.

Para finalizar, solicite aos alunos que movimentem os vértices do triângulo para comprovarem o teorema (figura 6).

Figura 6 – Movimentando os vértices do triângulo

Fonte: Arquivo da Autora

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube, disponível em <http://migre.me/jKufa>, acesso em 14 jun. 2014.

Referências

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

 ______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio: ciência da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília, 1999.

GALEIRA DE TRABALHOS DO EDUMATEC. Sugestões de atividades para sala de aula. Disponível em <http://migre.me/mfDj0>. Acesso em 12 out 2014.

ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 14 jun. 2014. 

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se que o (a) professor (a) considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. As construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente, assim, o (a) professor (a) pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.