Esta aula busca desenvolver a competência da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

 

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, avaliar as habilidades:

 

• Identificar relações algébricas que expressem relações entre grandezas (H19).
• Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos (H20).
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação (H22).

 

São propostos, como objetivos para essa aula, que os alunos sejam capazes de:

 

• refletir sobre formas de generalizar situações por meio da álgebra;
• reconhecer fórmulas matemáticas;
• utilizar fórmulas matemática em situações cotidianas;

1 a 2 horas/aula de 50 minutos.

Para fundamentar essa aula, sugerimos que o professor trabalhe previamente outras duas aulas que estão disponíveis no Portal do Professor:

 

Cálculo Algébrico – Parte 1: generalizando expressões algébricas para o perímetro e para a área.

Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58259 (acesso 08 nov. 2014).

 

Cálculo Algébrico – Parte 2: representando sequências numéricas e algébricas: “adivinhando” o número pensado.

Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58280 (acesso 08 nov. 2014).

 

Professor(a), ao observar as duas aulas sugeridas, é possível traçar um caminho pelo qual o(a) aluno(a) construirá generalizações a partir de expressões algébricas. Na parte 1, verifica-se a generalização da área e do perímetro do quadrado, bem como do perímetro de outros polígonos regulares. Na parte 2, além de lidar com figuras geométricas, surge a generalização de outras situações, tal como de sequências formadas a partir de um número qualquer. Essas duas aulas subsidiam o trabalho com fórmulas, pois, tais generalizações são de fato expressões que representam fórmulas para o cálculo da área, do perímetro e de outras situações.

 

Portanto, esta aula traz mais exemplos e aprofunda as discussões a respeito das fórmulas. Discutindo, inclusive, alguns aspectos das funções.

 

A aula

 

Professor(a), inicie a aula retomando o exemplo da expressão que generaliza o perímetro do quadrado.

 

• Dado um quadrado de lado “a”, o perímetro “p” é dado por p = 4.a.

 

Apresente então a expressão “fórmula”, ressaltando que essa é a fórmula para se calcular o perímetro de um quadrado. Lembre-os que, sendo decorrente das expressões algébricas, as fórmulas têm o caráter de generalizar e facilitar os cálculos.

Traga outra situação das aulas anteriores, por exemplo: A criação de  uma representação algébrica para uma determinada sequência. Ressalte que naquela situação considera-se que foi construída uma fórmula, pois generalizou os resultados para qualquer  número.

 

Após essas discussões iniciais, surge a oportunidade de apresentar uma nova fórmula. Escreva na lousa:

 

b = 220 – i

 

Questione se alguém conhece essa expressão. Caso exista alguém que a conheça continue lançando questionamentos sobre o que significa cada uma das letras. No entanto, se não houver ninguém que já tenha tido contato com a fórmula, afirme que, da maneira que está não há sentido, pois, não se sabe o que cada uma das letras representa.

 

A partir disso, complete a lousa com as informações:

 

• b: frequência cardíaca máxima (batimentos por minuto).
• i: idade da pessoa,

 

Explique que essa é uma fórmula que contabiliza a quantidade máxima de batimentos cardíacos por minuto uma pessoa pode ter baseado na idade dessa pessoa.

 

COMENTÁRIO: Caso queira saber mais sobre essas e outras fórmulas a respeito de frequência cardíaca, bem como suas referências, acesse http://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_card%C3%ADaca#cite_note-6 (acesso 15 nov. 2014).

 

Trabalhe com os(as) alunos(as) pelo menos dois exemplos utilizando a fórmula da freqüência cardíaca:

 

 

Quadro 1: Exemplos de cálculos da frequência cardíaca

Aluno(a)	Professor(a)
b = ?    i = 12      b = 220 – i, logo, b = 220 – 12 = 208    Portanto, segundo a fórmula, a frequência cardíaca  máxima que uma pessoa com 12 anos pode atingir  é de 208 batimentos cardíacos por minuto.	b = ?    i = 30      b = 220 – i, logo, b = 220 – 30 = 190    Portanto, segundo a fórmula, a frequência cardíaca  máxima que uma pessoa com 30 anos pode atingir  é de 190 batimentos cardíacos por minuto.

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Durante a construção dos exemplos, não se esqueça de questionar:

 

• Qual o valor de “i” nesse caso?

• O que queremos determinar?

• Qual a resposta adequada para o problema?

 

Concluir com uma resposta para o problema é muito importante. Repare que nela se faz analogia à ideia de que a frequência cardíaca está em função da idade.

 

Enriqueça a discussão frisando que esses são dados reais, mas que, podem variar de pessoa para pessoa, pois, essa é uma fórmula construída com base na observação de pessoas e que há sempre exceções.

 

Aponte que a utilização da fórmula faz ainda mais sentido ao se observar que para a idade do(a) professor(a) a frequência cardíaca máxima é menor do que para o(a) aluno(a), pois, esse(a) é mais novo(a) e possui, de maneira geral, um coração mais resistente.

 

Com base nessa última informação, questione:

 

• Essa fórmula faz sentido ao analisarmos uma criança de 1 ano, por exemplo?

 

         Resposta esperada: não, pois é uma criança muito nova e, certamente, não suportaria uma frequência cardíaca tão elevada.

 

Apesar das conclusões não terem caráter científico, pode-se utilizar a resposta para se lançar outra pergunta:

 

• Podemos afirmar que “i” pode assumir qualquer valor?

 

         Resposta esperada: Mediante a discussão, “i” não pode assumir qualquer valor. Por exemplo, “i” não pode representar um número negativo, pois, não há idade negativa.

 

Professor(a), repare que, a partir de questionamentos simples como esses, o(a) estudante está analisando o domínio da função b(i).

 

Enfatize o fato de que, segundo a fórmula, a frequência cardíaca depende da idade da pessoa, ou seja, ao se variar a idade, se varia a quantidade de batimentos cardíacos por minuto. Se achar adequado, introduza a palavra “função”, afirmando que, como “b” depende de “i”, diz-se que “b” está em função de “i”. Acrescente também a ideia de “b” varia em função de “i”, portanto “i” é uma variável.

 

Por experiências vivenciadas durante a aplicação dessa aula, cremos ser importante trazer uma dúvida que surgiu, por parte dos(as) alunos(as) mais de uma vez. O questionamento foi:

 

• Por que o número 220?

 

Mesmo que não surja essa dúvida, lance a pergunta.

 

Para saná-la, sugere-se um segundo exemplo. Professor(a), diga aos estudantes que permaneçam com a pergunta em mente e solicite a atenção de todos. Crie um exemplo de posição em função do tempo. Para isso, esclareça que observem a posição que irá assumir a partir do tempo decorrido. Vá para próximo à parede e indique-a como ponto inicial, nesse caso, zero. Deixe a lousa preparada com o quadro 2.

 

 

Quadro 2: Posição em função do tempo

Posição (metros)	Tempo (segundos)

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Ao dizer que a posição inicial junto à parede é zero e que nela ainda não foi decorrido nenhum tempo, faça uma pausa e vá até a lousa, preenchendo a primeira linha com posição igual a zero e tempo igual a zero. Retorne à posição inicial e, narrando, simule um passo, de modo que esse passo deixe o corpo na posição de 1 metro (ressalte que é uma aproximação). Diga ainda que, pode-se supor que para aquele passo, foi gasto 1 segundo. Com essas novas informações, preencha a segunda linha do quadro. Faça isso quantas vezes achar necessário para que os(as) alunos(as) compreendam.

 

Quando perceber que todos(as) estão acompanhando o raciocínio, questione:

 

• Se chamarmos a posição de “p” e o tempo de “t”, como podemos escrever uma fórmula que resulte na posição com relação ao tempo?

 

         Resposta esperada: p = t

 

Pode ocorrer de não se obter respostas. Nesse caso, retorne ao quadro e construa a fórmula junto aos estudantes.

 

Lembre-os que a pergunta a respeito dos 220 ainda não foi respondida, mas que está prestes a ser.

 

Quando todos(as) tiverem compreendido a ideia que fundamenta a expressão “p = t”, pegue uma das mesas da sala e coloque junto à parede que é considerada como posição inicial. Construa outro quadro, semelhante ao do exemplo anterior e junte-se à mesa. Questione:

 

• Não há como eu me posicionar no zero, pois a mesa é um obstáculo agora. Suponha que minha distância até o zero, ou seja, o comprimento da mesa seja de 1 m. Desse moto, o que podemos afirmar para preencher a primeira linha do quadro?

 

         Resposta esperada:Para o tempo igual a zero a posição é 1.

 

Dessa forma, continue completando o quadro e, ao final solicite que elaborem uma nova fórmula para a posição. Caso seja necessário, intervenha e construa coletivamente, de modo que se tenha p = t + 1.

 

Nesse momento, faça a observação de que foi necessário acrescentar o número 1 na fórmula, devido ao obstáculo que impedia de iniciar o percurso na posição zero. Esse é um fator presenta na fórmula que expressa aquela determinada situação. Isso também ocorre com o 220. Como a fórmula que estima a frequência cardíaca máxima com base na idade é algo construído a partir da observação de diversas pessoas, o 220 aparece como um número necessário para atender àquela situação, tal como o 1 no caso da posição quando se tem uma mesa como obstáculo.

 

Apresente então a seguinte atividade:

 

Atividade: Atualmente, no mundo, são utilizadas três escalas para a temperatura. Sendo elas o “Celsius” (C), o “Fahrenheit” (F) e o “Kelvin” (K). Observe a imagem abaixo, bem como as fórmulas que nos ajudam a representar temperaturas em diferentes escalas.

 

Figura 1: Escalas de temperatura

Fonte: Disponível em http://blogdafisicafhm.zip.net/images/escalasterm.gif(acesso 7 nov. 2014)

 

 

Com base nessas informações, responda:

 

a) Quantos Kelvin equivalem a 100° C?

 

Resposta esperada:

 

 

Portanto, 100° C equivalem a 373 Kelvin.

 

b) Quantos graus Celsius equivalem a 212° F?

 

Resposta esperada:

 

 

Portanto, 212° F equivalem a 100° C.

 

c) Quantos Kelvin equivalem a -53 °C?

 

Resposta esperada:

 

 

Portanto, -53° C equivalem a 220 Kelvin.

 

d) Quantos graus Celsius equivalem a 122° F?

 

Resposta esperada:

 

 

Portanto, 122° F equivalem a 50° C.

 

Como atividades complementares, sugere-se:

 

Atividade: Observe as fórmulas abaixo e responda o que se pede.

 

Quadro 3: Atividade

A área de um círculo é obtida pela seguinte fórmula:   A = π.r2      A: área de círculo    π: substitua por 3,14    r: raio do círculo      Considerando as informações acima, expresse os cálculos passo    a passo e determine a área de um círculo de raio r = 10 cm.

Ao contrário do que muitos pensam, o nosso peso não é aquele    resultado em kg que obtemos ao subir em uma balança. A    grandeza correta para designar a unidade de medida kg é a massa.    No entanto, é possível calcular o nosso peso e sua unidade de    medida é chamada de Newton, representada pela letra “N”.    Observa abaixo a fórmula para o cálculo do peso:   P = m.g      P: peso    m: massa do corpo    g: aceleração da gravidade      Considerando as informações acima, expresse os cálculos passo    a passo e determine peso de uma pessoa cuja massa corporal é    de 80 kg. Para isso, considere g = 10.

Fonte: Arquivo do autor

 

Espera-se que essa aula seja um instrumento para potencializar o estudo da álgebra atribuindo sentido ao conteúdo e possibilitando que o(a) aluno(a) perceba que há importância em vivenciá-lo na escola.

Conversão de escalas termométricas

Disponível em: http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/ (acesso 7 nov. 2014).

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as etapas, mediante a participação e o envolvimento dos alunos. Sugere-se ainda a avaliação individualizada com base nas atividades propostas ao final da aula.