A fim de desenvolver a competência da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM que é:

 

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, avaliar as habilidades:

 

• Identificar relações algébricas que expressem relações entre grandezas (H19).
• Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos (H20).
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação (H22).

 

São propostos como objetivos para essa aula que os alunos sejam capazes de:

 

• diferenciar expressão algébrica de equação;
• utilizar adequadamente a igualdade;
• criar quadros de sequências para criar equações que representem os problemas apresentados;
• resolver equações simples, sem utilização de técnicas;

1 a 2 horas/aula de 50 minutos.

• Expressões algébricas.
• Resolução de equações do primeiro grau.

O estudo de equações é importante tanto para atribuir sentido às expressões algébricas, quanto para fornecer ferramentas para o trabalho futuro com funções. Essa aula trabalha a diferença entre as expressões algébricas e as equações, bem como traz considerações sobre como fazer a conexão entre esses dois tópicos de estudo da álgebra. Para tanto, é importante trabalhar previamente  outras duas aulas:

 

Cálculo Algébrico – Parte 1: generalizando expressões algébricas para o perímetro e para a área.

Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58259 (acesso 08 nov. 2014).

 

Cálculo Algébrico – Parte 2: representando sequências numéricas e algébricas: “adivinhando” o número pensado.

Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58280 (acesso 08 nov. 2014).

 

 

Nas aulas indicadas, são trabalhadas as expressões algébricas com o caráter de generalizar determinadas situações. Na segunda aula, sequências já elaboradas foram expostas de forma algébrica. Nesse caso, a sequência iniciava-se com um número pensado. A ideia de generalização é importante, pois a expressão ao final da sequência está representada da mesma forma, independentemente do número pensado. Ainda nessa aula, existe um momento de “adivinhação do número pensado”, que buscou ilustrar o aspecto de generalização, pois, não importa em qual número a pessoa havia pensado, era sempre possível “adivinhar” o resultado.

 

Portanto, professor(a), é importante trazer esses aspectos para essa aula, relembrando os(as) alunos(as) dessa característica de generalização.

 

Após essa discussão, coloque na lousa um exemplo simples de expressão algébrica:

 

t + 1

 

Aponte para a letra “t” e ressalte que, daquela forma, ela poderia estar representando qualquer número, assim como haviam visto nas aulas anteriores. Insista dizendo que poderia ser o número que está pensando ou ainda a idade de um dos(as) alunos(as). Após isso, volte à lousa e reescreva a expressão, acrescentando uma igualdade:

 

t + 1 = 0

 

Em seguida, questione:

 

- Agora, podemos afirmar que “t” representa qualquer idade ou número pensado?

 

Resposta esperada: Não.

 

Continue dizendo que para que aquilo que está escrito seja verdade, o valor representado pela letra deve ser apenas um. Questione:

 

- Qual é o valor que “t” representa?

 

Resposta esperada: -1

 

Ressalte então a diferença entre as expressões algébricas e as equações, sobretudo, expondo a importância de se considerar o sinal de igual. Em nossa experiência com aulas envolvendo esse tema, observamos que alguns estudantes não registram adequadamente a igualdade. Você pode aproveitar esse momento para ilustrar isso, uma vez que a igualdade é fundamental para as equações. Lance um exemplo de resolução de um cálculo numérico:

 

10 – 2 + 4 – 1 = 8 = 8 + 4 = 12 = 12 – 1 = 11

 

Questione os(as) estudantes sobre o processo de resolução do cálculo, ou seja, se está ou não correto. Após as respostas indique que, apesar do resultado final, o raciocínio exposto não é coerente ao utilizar incorretamente as igualdades. Inicialmente o +4 – 1 some e resta apenas o 8. Após isso o +4 reaparece e a resposta é 12. Em seguida o -1 reaparece. Essa pequena pausa para a reflexão deve alertá-los para a importância de se utilizar corretamente a igualdade.

 

Em seguida, recupere os quadros feitos a partir das sequências durante o estudo das expressões algébricas, relembre a partir de um breve rascunho, por exemplo, a sequência que forma a expressão t + 1.

 

 

Quadro 1: Expressão algébrica

Sequência	Representação algébrica
Um certo número	t
Adicione 1 unidade ao número	t + 1

Fonte: Arquivo do autor

 

 

OBSERVAÇÃO: Como o nome da primeira coluna do quadro é “sequência”, não é necessário repetir os comandos anteriores ao escrever uma nova linha. No caso dessa aula, os comandos foram repetidos, contudo ao registrar na lousa ou nos cadernos, os comandos podem se tornar muito extensos, dificultando a elaboração do quadro. Outra forma de representar a coluna "Sequência" é repetir os comandos os comandos da linha anterior para a próxima linha, escolha a forma que acredita ser válida para seus alunos naquele momento.

 

Ao lado, esboce o quadro referente à equação dada inicialmente como exemplo, para que possam visualizar que a diferença será acrescentar uma linha ao final.

 

 

Quadro 2: Equação

Sequência	Representação algébrica
Um certo número	t
Adicione 1 unidade ao número	t + 1
Um certo número mais uma unidade é igual a     zero	t + 1 = 0 (equação)

Fonte: Arquivo do autor

 

 

A partir dessa construção, passe para alguns problemas, de modo que resultem em equações que possam ser resolvidas sem a aplicação de técnicas, ou seja, equações simples, cuja solução possa ser rapidamente determinada ao se olhar. Sugerimos esse caminho para que os(as) alunos(as) possam observar facilmente a solução da equação, de modo que, solucioná-la por meio de técnicas não se torne o foco do momento. As atenções devem estar voltadas para o seguinte aspecto: nas expressões algébricas os valores representados pelos símbolos (nesse caso, letras) poderiam ser os mais diversos, já nas equações (nesse caso, de primeiro grau) isso não ocorre.

 

Portanto, proponha os seguintes exemplos, deixando que os alunos tentem responder.

 

Exemplo: Observe os problemas abaixo e dividindo-o em partes monte um quadro com a sequência e a representação algébrica, determinando a equação que representa cada um dos problemas. Por fim, apresente a solução para a equação.

 

1 - Pensei em um número cujo antecessor, somado com 3 unidades, é igual a 10. Em qual número estou pensando?

 

Observe que é possível dividir o problema e, a partir dessas divisões, criar um quadro com uma sequência. Isso é importante para que o(a) estudante que em aulas anteriores já havia se habituado com as sequências (re)signifique ainda mais a funcionalidade de quadros como esse.

 

Resposta esperada:

 

Quadro 3: Equação exemplo 1

Sequência	Representação algébrica
Pensei em um número	a
Antecessor do número	a – 1
Antecessor do número somado com 3	a – 1 + 3
Antecessor do número mais 3 é igual a 10	a – 1 + 3 = 10 (equação)

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Verificando a solução para equação. É possível, inicialmente, simplificá-la:

 

a – 1 + 3 = 10 ⇒ a + 2 = 10 ⇒ a = 8.

 

Portanto, o número pensado é 8.

 

2 – O dobro da minha idade, somado a 20, é igual a 70. Qual é a minha idade?

 

É importante ressaltar com esse exemplo que, diferentemente do anterior, a idade que se quer descobrir não aparece de forma direta ao se dividir o problema para gerar o quadro com a sequência. Portanto, deve-se lembrar que, para que exista “o dobro da minha idade”, antes é necessário existir “a minha idade”.

 

Resposta esperada:

 

Quadro 4: Equação exemplo 2

Sequência	Representação algébrica
Minha idade	i
O dobro da minha idade	2.i
O dobro da minha idade somado a 20	2.i + 20
O dobro da minha unidade somado a 20 é igual a    70	2.i + 20 = 70 (equação)

Fonte: Arquivo do autor

 

Verificando a solução para a equação:

 

2.i + 20 = 70 ⇒ i = 25

 

Portanto, a idade é de 25 anos.

 

COMENTÁRIO: Esses dois exemplos devem bastar para que os(as) estudantes compreendam a lógica. Contudo, caso não sejam suficientes, utilize parte das atividades, a seguir, como exemplos.

 

Após a solução dos problemas colocados como exemplos, sugerimos as atividades a seguir como avaliativas.

 

Atividades

 

Observe os problemas abaixo e dividindo-o em partes monte um quadro com a sequência e a representação algébrica, determinando a equação que representa cada um dos problemas. Por fim, apresente a solução para a equação.

 

1 – Estou pensando em um número cujo oposto multiplicado por 3, resulta em – 21. Em qual número estou pensando?

 

Resposta esperada:

 

Quadro 5: Equação atividade 1

Sequência	Representação algébrica
Número pensado	x
Oposto do número pensado	– x
Oposto do número pensado multiplicado por 3	– x . 3 (– 3.x)
Oposto do número pensado multiplicado resulta    em -21	–3.x =  – 21 (equação)

Fonte: Arquivo do autor

 

Verificando a solução para a equação temos:

 

-3.x = -21 ⇒ x = 7.

 

2 – A metade de um número, somada a 5 unidades é igual a 15. Qual é esse número?

 

Resposta esperada:

 

Quadro 6: Equação atividade 2

Sequência	Representação algébrica
Número pensado	c
A metade do número pensado	c/2
A metade do número pensado mais 5 unidades	(c/2) + 5
A metade do número pensado mais 5 é igual a 15	(c/2) + 5 = 15 (equação)

Fonte: Arquivo do autor

 

Verificando a solução para a equação temos:

 

 (c/2) + 5 = 15 ⇒ c = 20.

 

3 – Subtraindo 1 do quadrado de um certo número, encontramos 15. Qual é esse número?

 

Resposta esperada:

 

Quadro 7: Equação atividade 3

Sequência	Representação algébrica
Um certo número	h
O quadrado desse número	h2
O quadrado desse número menos 1	h2 - 1
O quadrado desse número menos 1 é igual a 15	h2 - 1 = 15 (equação)

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Esse pode ser o momento de fazer uma pausa e dar uma dica para que os(as) alunos(as) possam refletir se é, de fato, apenas um número é resultado dessa equação.

 

Verificando as soluções para a equação temos:

 

  h² - 1 = 15 ⇒ h = 4 ou h = -4.

 

4 – O quadrado do cubo de um número é igual a 1. Qual é esse número?

 

Quadro 8: Equação atividade 4

Sequência	Representação algébrica
Um certo número	g
O cubo desse número	g3
O quadrado do cubo desse número	(g3)2
O quadrado do cubo desse número é  igual a 1	(g3)2 = 1 (equação)

Fonte: Arquivo do autor

 

Verificando as soluções para a equação temos:

 

(g³)² = 1 ⇒ g⁶ = 1 ⇒ g = 1 ou g = - 1.

 

Espera-se que essa aula seja uma ferramenta para auxiliar na introdução da resolução de equações, tomando como base as expressões algébricas. Além disso, a solução de problemas surge de modo simples quando se utiliza a estratégia de criar os quadros com as sequências, já conhecido pelos(as) alunos(as).

Equação do primeiro grau - Primeira Parte

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=g6ANadRKiOs (acesso 08 nov. 2014).

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as etapas, mediante a participação e o envolvimento dos alunos. Sugere-se ainda a avaliação individualizada com base nas atividades propostas ao final da aula.