Analisar aspectos que definem a pertinência de ponto a reta.

Identificar a pertinência de ponto a reta a partir de suas projeções em épura.

Analisar o caso particular da reta de perfil.

Os alunos devem estar familiarizados com a descrição de pontos no espaço, a partir de suas coordenadas, e com a representação destes em épura ou por meio de vistas ortográficas.

Antes da aula

O professor deverá preparar com antecedência o material a ser distribuído entre os alunos para dinamizar as atividades. Sugerimos que apresente, representados em triedros diferentes, todos os tipos de retas e três pontos a ela pertencentes, bem como um quarto ponto que não pertença à reta. Todos os pontos deverão ser descritos por meio de suas coordenadas.

Recomendamos o uso do desenho isométrico para a elaboração dessas pranchas, conforme os exemplos abaixo:

Exemplo 1 

Exemplo 2 

Exemplo 3

Iniciando as Atividades

Na geometria plana a verificação da pertinência de ponto a reta é bastante simples, tanto na abordagem feita pelo desenho – de caráter estritamente gráfico – quanto na realizada pela matemática, de caráter analítico. Assim, ao desenharmos um ponto sobre a representação gráfica da reta, isto basta para o consideremos pertencente a ela. Para a geometria analítica, por sua vez, a condição de pertinência estará contemplada se o par ordenado que descreve o ponto satisfizer a equação da reta dada.

Quando se trata da geometria espacial, pouco muda no que se refere à abordagem analítica, mas a verificação da pertinência por meio da representação gráfica dos elementos, requer alguns cuidados extras.   

Embora intuitivamente seja mais fácil de observar a relação entre ponto e reta a partir de suas representações espaciais – conforme os exemplos sugeridos para a primeira atividade – , quando a representação é feita em épura, ou por meio de vistas, a análise das projeções deve obedecer a alguns critérios, que deverão ser construídos com os alunos, com base na relação entre as projeções de mesmo nome de pontos e retas.

Atividade 1

Agrupados em duplas, os alunos deverão analisar as projeções de pontos e retas em relação às posições destes no espaço.

Cada dupla de alunos deverá receber pranchas onde algumas retas e pontos estarão representados espacialmente, em desenho isométrico, conforme os exemplos mostrados anteriormente. (Caso a escola não disponha de meios para reproduzir esse material para os alunos, o professor poderá ampliá-lo, de forma a que todos os alunos possam visualizá-lo simultaneamente.)    

Os alunos deverão observar a relação entre os elementos objetivos e suas projeções, dedicando especial atenção ao modo em que as projeções dos pontos não pertencentes a uma reta se posicionam em relação às projeções desta.

Atividade 2

Os alunos deverão elaborar uma regra de pertinência de ponto a reta

O professor deverá articular os aspectos apontados pelos alunos, no sentidos de construir, com a turma, uma regra de pertinência de ponto a reta fundamentada nas relações observadas entre as projeções de mesmo nome de pontos e retas – isto é,  entre as projeções verticais dos pontos (A’, B’, C’, D’) e as projeções verticais das retas (C’D’) e entre as projeções horizontais de pontos (A, B, C, D) e retas (CD).

Para verificar a eficácia da regra elaborada na etapa anterior, o professor deverá solicitar aos alunos que representem, caso a caso, os pontos e retas em épura – ou por meio de suas vistas frontal e superior –, a partir das coordenadas dos pontos que a definem (para obtê-las, bastará tomar as medidas dos segmentos correspondentes a cada coordenada da representação espacial, o que deverá ser feito, preferencialmente, com o compasso).

Ao fim da atividade, caberá ao professor avaliar, com os alunos, o funcionamento da regra elaborada, tomando como referência as seguintes questões:

- Nos casos analisados, as projeções dos pontos (A) e (B) se posicionaram conforme o proposto pela regra de pertinência? (A’ não pertencendo a C’D’ e/ou, simultaeamente, A não pertencendo a CD; B’ pertencendo a C’D’ e, simultaeamente, B pertencendo a CD).

- Em caso negativo, quais as variações observadas ?   

A partir dessas considerações, os alunos deverão analisar os casos que constituam exceções à regra geral de pertinência, isto é, os casos em que, apuradas as características relacionadas pela regra, a identificação da pertinência seja inconclusiva.

Atividade 3

Os alunos deverão identificar a existência de exceções à regra elaborada na etapa anterior e propor procedimentos que permitam verificar, nesses casos, a pertinência de ponto a reta.  

Para concluir a aula, o professor deverá analisar com a turma os casos discrepantes da regra, buscando elaborar um procedimento que possibilite uma checagem complementar, dirimindo qualquer dúvida a respeito da pertinência - ou não - do ponto à reta, em cada caso. (O procedimento necessário – a projeção de ponto e reta em um plano de perfil – deverá surgir entre as propostas. No entanto, recomendamos não explorá-lo ainda nessa aula, constituindo tema de uma aula específica).

Os sites e sugestões de aula abaixo disponiblizam conteúdos e materiais didáticos relacionados ao tema desta aula:

http://www.mat.ibilce.unesp.br/personal/luciana/Ap-G_E.pdf 

http://pcc2101.pcc.usp.br/2000/guia1-pcc2101.pdf 

www.ige.unicamp.br/site/aulas/91/Aula_3_2004.ppt 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=10555 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=10560 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=10552 

A aula poderá ser avaliada com base na participação dos alunos nas atividades e debates propostos. A consistência da regra elaborada com a turma, a partir das observações e análises produzidas nas atividades, também constituirá um bom referencial para verificar a apreensão do conteúdo abordado.