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Medindo Alturas a partir de Ângulos

 

06/12/2010

Autor e Coautor(es)
VICTOR CESAR PAIXAO SANTOS
imagem do usuário

RIO DE JANEIRO - RJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

Fernando Celso Villar Marinho, Rita Maria Cardoso Meirelles, Armando Tramontano, Jackson Lopes, Raquel Cupolillo Simões de Sousa, Edite Resende Vieira

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Educação de Jovens e Adultos - 2º ciclo Matemática Proporcionalidade e Equivalência
Ensino Fundamental Final Matemática Grandezas e medidas
Educação de Jovens e Adultos - 2º ciclo Matemática Grandezas e medidas
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
  • Compreender a relação entre as medidas de ângulos e lados de um triângulo retângulo;
  • Utilizar a comparação entre dois ângulos para comparar alturas e distâncias de objetos;
  • Identificar e modelar no dia-a-dia situações reais onde o conceito pode ser aplicado.
Duração das atividades
Duas aulas de 50 minutos.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
  • Ângulos, unidades e instrumentos de medida de ângulos;
  • Propriedades de triângulos.
  • Semelhança de triângulos.
Estratégias e recursos da aula

Caro professor, esta é uma atividade essencialmente de exploração do mundo à sua volta. Por este motivo, recomendamos que, mais do que realizar cálculos em sala de aula, ela tenha um momento externo, onde os alunos possam contemplar situações reais de uso da teoria aqui discutida.

Inicialmente, deve-se recordar aos alunos uma propriedade dos triângulos: em todo triângulo, ao menor ângulo está oposto o menor lado, e ao maior ângulo está oposto o maior lado. Dito isto, é hora de explorar o mundo!

Atividade 01

Qual é o mais alto?

Conduza os alunos até uma área externa (o pátio da escola, por exemplo) e peça-lhes que escolham duas construções altas que existam ao redor (dois prédios, algum monumento, etc.) e que estejam a, aproximadamente, uma mesma distância do local de observação. Para não tornar o problema trivial, busquem construções distantes uma da outra. Definidas as candidatas, pergunte aos alunos qual das duas construções deve ser a mais alta, observadas de onde estão.

Para realizar este tipo de estimativa, os alunos têm - ainda que de modo inconsciente - em mente uma propriedade muito importante relativa aos triângulos: dados dois triângulos retângulos com um dos catetos congruentes, podemos inferir qual deles tem maior altura relativa a esta base através da medição do ângulo formado entre o cateto considerado e a hipotenusa. Veja na Figura 01:

[Figura 01] Imagem do autor

Este foi o motivo de termos recomendado construções eqüidistantes do local de observação.

Dê cerca de três minutos para que os alunos opinem sobre qual das construções é a mais alta, e a seguir mostre-lhes esse resultado envolvendo os triângulos retângulos. Diga ainda a eles que, a menos da Torre de Pisa e outros monumentos curiosamente "inclinados", os prédios e construções convencionais formam ângulos retos com o solo, o que nos permite aplicar os resultados conhecidos para os triângulos retângulos.

Atividade 02

Quem é o mais alto?

Agora faça com a turma o seguinte experimento: pegue dois alunos que tenham uma diferença considerável de altura e coloque-os sobre uma mesma linha (em uma quadra de esportes, por exemplo), deixando o mais baixo mais próximo do grupo de alunos e o mais alto afastado o suficiente para que, visto pelo grupo de alunos, o topo de sua cabeça esteja exatamente alinhada com o topo da cabeça do aluno mais baixo. Pergunte-lhes agora: "quem lhes parece o mais alto, visto daqui?"

Explique que as imagens percebidas pela turma dos dois alunos têm a mesma altura; no entanto, ao considerarmos que eles estão a distâncias diferentes do grupo, nossa percepção é "enganada" pelo fato de que a nossa visão produz imagens planas, projetadas, de tudo o que está à nossa volta. E mais: que uma outra propriedade dos triângulos nos permite dizer quem é o mais alto!

Neste caso devemos considerar que, se dois triângulos retângulos têm um dos catetos sobre uma mesma reta, e ainda as hipotesusas estão sobre uma mesma reta, teremos um ângulo comum nos dois triângulos. Assim, os triângulos retângulos formados são semelhantes, e a definição de quem é o mais alto estará associada diretamente à razão de semelhança: se o aluno João está mais distante que o aluno Pedro, então João é mais alto que Pedro. Veja na Figura 02:

[Figura 02] Imagem do autor

Como fechamento desta atividade, retorne para a sala de aula. Agora você pode indagar os alunos: "mas será que, do mesmo modo, poderíamos determinar quem é o mais alto se as hipotenusas dos triângulos considerados não fossem colineares?" A resposta a esta pergunta é "nem sempre", como podemos observar nas ilustrações a seguir (desenhe-as ou cole-as no quadro, para que os alunos possam observá-las):

[Figura 03: ângulo AOB maior que COD, mas o lado AB é menor que o lado CD] Imagem do autor

[Figura 04: ângulo AOB maior que COD, mas lados AB e CD iguais] Imagem do autor

[Figura 05: ângulo AOB maior que COD, e lado AB maior que o lado CD] Imagem do autor

[Figura 06: ângulo COD maior que AOB, e lado CD maior que o lado AB] Imagem do autor

Este momento encerra a primeira aula sobre o assunto.

Atividade 03

Medindo Alturas Inacessíveis

Inicie a segunda aula contando aos alunos sobre a medição da altura da Pirâmide de Quéops pelo matemático Tales de Mileto. Você pode encontrar alguns textos sobre isso em livros (como DANTE, 2009) ou mesmo na internet (veja http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/tales.htm,   http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/calpiramide.html) e ainda no próprio Portal do Professor (veja http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1088).

Para fazer uso deste tipo de artifício podemos considerar, além das relações entre dois triângulos semelhantes, uma importante relação entre os lados de um triângulo e seus ângulos: quando a sombra de um graveto tem o mesmo comprimento do próprio graveto, os ângulos internos não-retos do triângulo retângulo formado são ambos iguais a 45º. Como, generalizando um pouco, podemos considerar que o sol incide sob um mesmo ângulo sobre dois objetos próximos, constatamos que, se os ângulos do triângulo formado pelo graveto são 45º, os ângulos do triângulo formado pelo objeto a ser medido (como uma Pirâmide!) também o serão.

De modo particular, se pudéssemos conhecer relações entre ângulos e lados - ou comparações entre lados - isto nos auxiliaria significativamente na estimativa de alturas inacessíveis. Mas para isso podemos fazer uso do que chamamos "razões trigonométricas no triângulo retângulo":

[Figura 07: razões trigonométricas Seno (sen), Cosseno (cos) e Tangente (tg)] Imagem do autor

A partir das relações expostas na Figura 07, podemos buscar os valores das razões trigonométricas para algumas medidas de ângulos. Caso julgue necessário, conduza os alunos através do processo dedutivo que leva até os resultados a seguir (veja seção Recursos Complementares). Para os ângulos de 30º, 45º e 60º, temos:

sen

cos

tg

30

1/2

raiz(3)/2

raiz(3)/3

45

raiz(2)/2

raiz(2)/2

1

60

raiz(3)/2

1/2

raiz(3)

Mas o que isto significa em termos práticos? Observe a Figura 08, abaixo:

[Figura 08] Imagem do autor

Note que, como o seno é a razão entre cateto oposto e hipotenusa, podemos dizer que, se o ângulo da base mede 30º, então a altura do prédio é igual à metade da distância entre o observador e o topo do prédio.

Medindo Ângulos e Calculando Alturas

A seguir, você deve solicitar que a turma busque exemplos de cálculos de alturas em triângulos retângulos onde o conhecimento de um dos ângulos envolvidos auxilia decisivamente na solução do mesmo. Isto pode ser feito a partir de imagens em livros, fotografias, ou mesmo medindo objetos presentes na escola.

Para medir os ângulos, os alunos podem construir um instrumento chamado teodolito. Seu processo de construção por parte dos alunos pode ser visto nas aulas disponíveis em:

Esta parte da aula pode ser considerada como um dos critérios avaliativos. Leve-os até o pátio ou área externa da escola e desenvolva um trabalho onde os mesmos possam descobrir triângulos retângulos formados entre mesas, paredes, telhados e outros objetos ou locais do ambiente escolar.

Uma aula muito interessante é a Aferição de Distâncias Inacessíveis 

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22970 ) 

Recursos Complementares

Portal do Professor

 Aferição de Distâncias Inacessíveis  

( http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22970)  

Referências

MACHADO, R. F. G. et al. Medindo alturas inacessíveis: aplicação da Trigonometria – Construção e utilização do Teodolito. Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12635 

MACHADO, R. F. G. et al. Medindo alturas inacessíveis: aplicação das Razões Trigonométricas – Utilizando o teodolito. Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12636 

DANTE, L. R. Tudo é Matemática - 9º ano. 3ª Edição. Editora Ática, São Paulo, 2009. pp. 160-161

Tales de Mileto. Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/tales.htm 

LUCHETTA, V. O. J. O Cálculo da Altura das Pirâmides. Disponível em http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/calpiramide.html 

BARROS, G. C. As Demonstrações de Tales. Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1088 

Avaliação

Como forma de avaliação, o professor pode desenvolver uma atividade em que os alunos tragam exemplos do cotidiano de aplicações das razões trigonométricas na medição de alturas ou distâncias inacessíveis. Esta atividade pode ser feita para entregar posteriomente, ou pode ser um momento dentro do próprio ambiente escolar, como citado na estratégia de aula.

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