§  Aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos na resolução de problemas.

§  Empregar a calculadora como ferramenta de auxílio na resolução de problemas que envolvam logaritmos.

Propriedades da potenciação e radiciação.

Em sala de aula, o professor deve apresentar aos alunos o conteúdo de logaritmos (por meio de projetor multimídia ou no laboratório de informática, se houver), propondo o recurso Logaritmos, disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10438, acesso em 10 de outubro de 2010.

Logaritmos 

A animação aborda o tema usando, como exemplo, o cálculo de um logaritmo por meio da equivalência com uma potência. Em um momento posterior é formalizado o conceito. No recurso, outros exemplos são abordados com a finalidade de familiarizar o aluno ao tema. Logo após, surge um fato histórico relacionando à invenção dos logaritmos às grandes navegações dos séculos XV e XVI, e segue apresentando uma tábua de logaritmos. Para finalizar, segue com a construção de gráficos e com a proposta de alguns exercícios nos quais o aluno pode aplicar os conhecimentos assimilados.   

Após a animação, o professor pode retomar alguns conceitos, por exemplo:

Quando escrevemos, por exemplo, log 2 = 0,301, significa 10^0,301 = 2.       

Usamos sempre a base 10 e, por isso, os nossos logaritmos são chamados decimais. Existem também logaritmos em outras bases. Por exemplo, a igualdade 2⁵=32 significa que o logaritmo de 32 na base 2 é igual a 5.   

Observação:

Para esse momento, utilizar com os alunos uma calculadora científica. Os alunos pode trazer a calculadora de casa, ou pode-se utilizar a calculadora do computador no laboratório de informática (independente de sistema operacional) ou ainda a calculadora online disponível em: http://www.calculadoraonline.com.br/view/calculadora-cientifica.php, acesso em 10 de outubro de 2010.

Na calculadora científica, apresentar aos alunos a tecla log. Essa tecla calcula o logaritmo decimal de um número x. Para usar a tecla log no cálculo do valor do logaritmo de base 10, por meio da calculadora científica, digita-se inicialmente o valor do qual logaritmo desejamos e a seguir pressiona-se a tecla log, respectivamente.

Assim:  

 a) Para calcular o  log 1,23455

Usa-se o comando: 1,23455 log

Resultado: 0,91508683   

b) Para calcular  log ₂  37 = x   
pela propriedade dos logaritmos, temos:

2^x = 37

log 2 ^x = log 37

x. log 2 = log 37  

como log 2 = 0,3010 e log 37 = 1,5682 (veja na calculadora)

temos x. 0,3010 = 1,5682

x = 5,2099

Atividade 1 - Usando a calculadora, propor aos alunos a resolução:   

a) log 100  

b) log 1000   

c) log 1,86755   

d) log ₂ 57   

e) log ₅ 138     

Professor, essa atividade pode ser desenvolvida em sala de aula (se os alunos trouxerem calculadoras de casa), ou no laboratório de informática (usando a calculadora disponível no sistema operacional dos computadores). Durante a atividade, verificar se os alunos entenderam o funcionamento das teclas e permitir que resolvam os exemplos.

Atividade 2 - Aplicação de logaritmo na resolução de problema.

Por conta de um processo de assédio moral, um juiz determinou o pagamento de uma indenização ao réu até determinada data. Decidiu também que, caso o pagamento não seja feito, será cobrada uma multa da empresa causadora, de R$ 2,00 que dobra a cada dia de atraso.

Pergunta-se: Em quantos dias de atraso essa multa será superior a 1 milhão de reais?   

Obs. Para essa resolução, permita que os alunos façam conjecturas. Pode ocorrer que os alunos encontrem o resultado por outros caminhos. Não desconsidere os pensamentos dos alunos, afinal o importante é se chegar ao resultado.   

Resolução:

A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena, se o atraso no pagamento for de poucos dias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande. Considerando x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x.   

Veja:

1 dia de atraso  -> x=1 multa = 2¹=2

2 dias de atraso -> x=2 multa = 2² = 4

3 dias de atraso -> x=3 multa = 2³ = 8 e assim por diante.   

Conforme podemos observar, as multas crescem em progressão geométrica.   

Para calcular em que dia a multa atinge 1 milhão de reais, devemos resolver a equação:

2^x=1000000

Para resolver essa equação é preciso aplicar a propriedade dos logaritmo nos dois lados:

log 2^x = log 1000000

log 2^x = log 10⁶ 

Considerando a propriedade do logaritmo da potência: x.log 2 = 6.log 10

Como log 10 = 1 e log 2 = 0,301 (veja na calculadora), temos:

x · 0,301 = 6          

        6
x= -------- =   19,93     

     0,301   

Concluímos que no 20º dia de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais.

Propriedades dos Logaritmos

No laboratório de informtática, propor aos alunos, em grupo (3 a 4 alunos), as atividades da WebQuest Logaritmos, disponível em: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=14591&id_pagina=1, acesso em 10 de outubro de 2010. 

Ao final das atividades discutir com  os alunos algumas propriedades de logaritmos, bem como, as maneiras que se utilizaram para resolver. Nem sempre o caminho é o mesmo, porém o importante é chegar ao resultado. Discutir ainda com os alunos que o logaritmo não se resume a cálculos matemáticos, pelo contrário, tem inúmeros empregos em situações bem próximas ao nosso cotidiano.

Fonte: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=14591&id_pagina=1  

Atividade 3 - Pesquisa

No laboratório de informática, com os alunos reunidos em grupos (3 a 4 alunos), propor uma pesquisa sobre a aplicação dos logaritmos em atividades do cotidiano.   

Para orientar a pesquisa, o professor pode construir uma WebQuest. A WebQuest  é uma metodologia de pesquisa online, organizada por meio de um roteiro que segue com os seguintes passos: introdução, tarefa, recursos, processo, avaliação, conclusão. O professor dá indicativos de sítios, pré-selecionados, para que a aula seja aproveitada ao máximo, e os alunos não se distraiam diante de tantas informações da internet, e organizem a tarefa e a concluam com sucesso.   

Para desenvolver sua WebQuest, o professor pode seguir as orientações do "Tutorial para criar e editar WebQuest ", disponível em: http://rosangelamentapde.pbworks.com/f/tutorial_wq_escolabr1.pdf e, utilizar o sítio   http://www.webquestbrasil.org para criar e postar. A ênfase da pesquisa deve ser na origem dos logaritmos e suas aplicações nas demais áreas, além de curiosidades e informações.   

Sugestões de links para desenvolvimento da WebQuest:

Aplicação dos Logaritmos - O site apresenta várias aplicações dos logaritmos em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Demonstrando por meio de exemplos a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão. Para saber mais, ver: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/aplicacao-dos-logaritmos.htm, acesso em 10 de outubro de 2010. 

Trecho do vídeo "Música das Esferas", sobre as relações entre a Matemática e a Música. Ver  http://www.youtube.com/watch?v=8fR5iOFtY2c, acesso em 10 de outubro de 2010.

O piano e a tábua de logaritimo. A música tem ligações fortíssimas com a matemática, pois quando acionamos as teclas de um piano moderno, estamos, a rigor, teclando sobre logaritimos. Ver: http://super.abril.com.br/superarquivo/1988/conteudo_111131.shtml, acesso em 10 de outubro de 2010.  

Artigo do professor Ernesto Vieira Neto, que apresenta situações reais que envolvem logaritmos. Ver: http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/Ernesto19agosto-Logaritmo.pdf, acesso em 10 de outubro de 2010. 

Aplicação de logaritmos e exponenciais à tecnologia alimentar. Ver  http://manuelasimoes.no.sapo.pt/tecnologia_alimentar.htm#questão, acesso em 10 de outubro de 2010.

Logaritmos e Terremotos: Aplicação da escala logarítmica nos abalos sísmicos, artigo da professora Cynthia Adeline Pinheiro Henrque. Ver: http://www.cdb.br/prof/arquivos/76295_20080603084510.pdf, acesso em 10 de outubro de 2010. 

Ao final das pesquisas, cada grupo deve desenvolver um problema envolvendo logaritmos (os problemas devem conter um enunciado significativo e sua resolução por meio das propriedades dos logaritmos) com aplicações em situações reais, acompanhados de uma produção textual elucidativa acerca da questão escolhida.

Após a elaboração da pesquisa, para socialização dos resultados, o professor deve propor uma rodada de apresentação dos trabalhos, bem como, de resolução dos problemas entre os grupos, discutindo as produções e diversas aplicações que surgirem. 

A calculadora e os logaritmos. Disponível em: http://educacao.uol.com.br/planos-aula/calculadora-logaritmos.jhtm, acesso em 10 de outubro de 2010.    

Resolvendo problemas com logaritmos. Disponível em: http://www.scribd.com/doc/6513896/a-2-Grau-61-Resolvendo-Problemas-Com-Logaritmos-PtBR, acesso em 10 de outubro de 2010.

Calculadora científica online. Disponível em: http://www.calculadoraonline.com.br/view/calculadora-cientifica.php, acesso em 10 de outubro de 2010.   

Propriedade dos logaritmos. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=20966, acesso em 10 de outubro de 2010.    

Logaritmo – Definição. Disponível em:  http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=15566, acesso em 10 de outubro de 2010.   

Logaritmos. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=762, acesso em 10 de outubro de 2010.       

A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.

Critérios a serem observados:

- Na atividade inicial? O aluno foi argumentativo? Raciocínio adequado?

- Durante a explicação do professor e uso da calculadora. Demonstrou interesse? Coesão nas reflexões?

- Na realização das atividades propostas na WebQuest? Resolveu as atividade? Demonstrou conhecimento?

- Na realização da atividade de pesquisa. Produção do problema, participou? Produziu? Contribuiu com os colegas?