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Distribuição Binomial com Apoio de Planilha Eletrônica

 

14/02/2011

Autor e Coautor(es)

Rita Maria Cardoso Meirelles, Fernando Celso Villar Marinho, Ivail Muniz Junior, Jackson Lopes, Clayton Gonçalves Silva, Raphael Alcaires de Carvalho.

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Ensino Médio Matemática Análise de dados e probabilidade
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
  • Utilizar Excel para resolver problemas de distribuição binomial
Duração das atividades
2 aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
  • Noções de probabilidade.
Estratégias e recursos da aula

 

ATIVIDADE 1

 ÁRVORE GENEALÓGICA

Uma árvore genealógica*   é um histórico de certa parte dos ancestrais de uma pessoa ou família. Mais especificamente, trata-se de uma representação gráfica genealógica para mostrar as conexões familiares entre indivíduos, trazendo seus nomes e, algumas vezes, datas e lugares de nascimento, casamento, fotos e falecimento. O nome se dá pela semelhança em relação a ramificação de árvores. 

*(http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rvore_geneal%C3%B3gica)

Na primeira etapa o professor deverá mostrar aos alunos como montar uma árvore genealógica. Depois cada aluno deverá fazer um estudo em sua família inserindo a geração dos avós, dos pais e a sua geração.

Imagem do autor

A árvore genealógica criada acima mostra um estudante Q e seu irmão R, cujo pai é H e a mãe é I e seus avós maternos são C e D e seus avós paternos são A e B. As letras que estão em negrito representam as pessoas do sexo masculino e as outras letras do sexo feminino. Na 1ª linha tem-se a geração dos avós, na 2ª linha a geração dos pais e na última linha a geração do aluno Q. O círculo na árvore acima significa que G e M não tem filho.

Problemas envolvendo probabilidade

Algumas questões podem ser feitas a partir da árvore acima:

1) Escolhida, ao acaso, uma das pessoas , qual a probabilidade de ser escolhido o estudante Q?

Para resolver essa questão o professor deve trabalhar os conceitos de espaço amostral e eventos. Então deve usar a fórmula de probabilidade P = (n° de elementos do evento/ n° de elementos do espaço amostral). Nessa questão, temos: P = 1/20 = 5%, pois o meu evento é ser escolhido o estudante Q para isso ocorrer só temos 1 possibilidade. E o espaço amostral é a quantidade total de pessoas presentes na árvore, ou seja, 20.

2) Escolhida, ao acaso, duas pessoas, qual a probabilidade do estudante Q ser uma dessas duas pessoas escolhidas?

O espaço amostral nesse caso é combinação de 20 tomados 2 a 2, pois podem ser escolhidas quaisquer duas pessoas, isto nós dá 190. Já para o n° de eventos o estudante Q pode ser escolhido junto com qualquer um das 19 pessoas, o que dá um total de 19 possibilidades. Portanto a probabilidade é P = 19/190 = 1/10 = 10%.

Uma outra solução é perceber que o estudante Q pode ser escolhido na 1ª escolha ou na 2ª, para a 1ª escolha temos 5% de chance para a 2ª escolha temos 5% também. Portanto, a probabilidade final é de 10%(5% + 5%).

O professor pode levar os alunos a resolver para os casos em que:

3 pessoas são escolhidas; 4 pessoas são escolhidas e assim sucessivamente.

3) Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso seja uma parente consaguínea de A, sabendo que não será escolhida a pessoa A?

O número de elementos do espaço amostral é 19, pois já sabemos que A não foi escolhida. O n° de elementos do evento ser consaguíneo é 8 (são: E, F, G, H, O, P, Q, R). Portanto, P = 8/19.

Recomenda-se ler o artigo no site

http://www.teliga.net/2009/06/quais-os-riscos-dos-casamentos.html

Pois envolve probabilidade e bilogia, podendo assim trabalhar a interdisciplinaridade com os aluinos.

Para estimular a curiosidade dos alunos, apresente dois sites que se propõe a auxiliar na construção de árvores geneálogicas:

http://www.myheritage.com.br/genealogia

http://www.meusparentes.com.br/centro-de-informacoes/a-arvore-genealogica

 

O tema "Árvore Genealógica" é abordado em aulas de Biologia. Pense na possibilidade de estabelecer um diálogo com professores desta área para tornar a aula mais abrangente. O link a seguir apresenta uma sugestão de aula de biologia sobre este tema.

http://www.educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/arvore-genealogica.htm

A representação gráfica da árvore é chamada de heredograma. Para saber mais visite: 

http://www.sobiologia.com.br/conteudos/Genetica/leismendel5.php

 

ATIVIDADE 2

 EXCEL E GRÁFICOS

Nesta atividade o aluno deve fazer pesquisas sobre os membros da família, por exemplo, a cidade onde moram seus familiares, a idade, formação escolar, etc. Os alunos podem sugerir o que querem perguntar às famílias, essa é uma ótima fase para fazer os alunos formularem as próprias questões.

Após recolhidas as informações, deve-se colocar os dados na planilha e fazer o gráfico. Como o exemplo a seguir.

1°) Digite na planilha as informações coletadas e selecione todos os dados como mostra a figura abaixo:

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2°) No menu Inserir, selecione a opção Gráfico e depois Gráfico de Colunas.

Imagem do autor

Outra possibilidade é elaborar um gráfico com as idades em ordem crescente. Para isso, primeiramente é necessário classificar os dados.

1°) Selecione todos os dados. No menu Início selecione a opção Personalizar Classificação. Na opção Classificar por selecione o parâmetro idade. Após a classificação os dados ficarão conforme a figura abaixo.

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2°) No menu Inserir selecione a opção Gráfico e depois Gráfico de Colunas.

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Uma terceira possibilidade é a utilização de Histograma, um gráfico que agrupa os dados em blocos e mostra a freqüência dentro de cada bloco.  

1°) Coloque na coluna ao lado os blocos, nesse exemplo adotamos intervalos de 15 anos para as  idades  como mostra a figura.

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2°) No menu Dados selecione a opção Análise de Dados e depois a opção Histograma

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3°) No campo intervalo de entrada selecione os dados referentes às idades, células R1 a R21. No campo intervalo do bloco os intervalos escolhidos, células S1 a S7. Marque as opções Nova Planilha e Resultado do Gráfico.

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ATIVIDADE 3

 EXCEL E A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Esta atividade é composta de três etapas.

I) Cada aluno deverá analisar a árvore genealógica da sua família e calcular a probabilidade de escolhida ao acaso um dos membros da sua família ser homem.  No nosso exemplo, de 20 pessoas, 11 são do sexo masculino. Portanto a probabilidade pedida é de 55%. Quando a probabilidade não for exata a calculadora será um instrumento para a realização do cálculo.

II) O aluno deverá resolver dois problemas:

Problema 1: “Cinco parentes, dos que estão na árvore montada acima, serão chamados de forma aleatória para participar de um evento na escola. Qual é a probabilidade de dois desses parentes serem do sexo masculino?”

Para responder tal pergunta o aluno deverá usar o conceito de distribuição binomial. Mais uma vez a turma deverá ser levada para o laboratório de informática para usar a planilha eletrônica.

O aluno deverá preencher a planilha da forma como mostra o exemplo a seguir:

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Onde n é o número de pessoas escolhidas (número de tentativas), k o número de pessoas do sexo masculino que queremos calcular a probabilidade (número de sucessos), p a probabilidade de uma pessoa ser do sexo masculino (a probabilidade do sucesso) e P(X = k) a probabilidade de em um grupo de 5 pessoas 2 serem do sexo masculino.

Para calcular P(X=k) o aluno deverá clicar na célula D2 e depois clicar no botão inserir função

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E abrirá a janela

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Digite distribuição binomial e clique em ir e aparecerá a tela

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Selecione DISTRBINOM e clique em OK. E aparecerá a tela

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No 1° campo digite 2, no 2° 5, no 3° 0,55 e no último falso e clique em OK. E aparecerá o resultado desejado.

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Problema 2: “Cinco parentes, dos que estão na árvore montada acima, serão chamados de forma aleatória para participar de um evento na escola. Sabendo que os pais do aluno devem comparecer ao evento, qual é a probabilidade de dois desses parentes serem do sexo masculino?”

III) O professor deverá apresentar a fórmula de distribuição binomial P(X = k) = (nk)pk qn-k  e pedir para o aluno resolver o mesmo problema acima só que sem usar o Excel. O aluno perceberá que em determinados momentos as contas são muito difíceis de serem efetuadas.

Recursos Complementares
Avaliação

Propor situações-problemas para serem resolvidos mediante o uso da função DISTRBINOM do Excel e propor a elaboração de gráficos feitos por meio de planilhas eletrônicas. Para isso, aproveite as atividades 2 e 3.

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