-Conceituar o princípio fundamental da contagem;

-Interpretar e solucionar problemas utilizando conhecimentos de análise combinatória;

-Determinar a quantidade de agrupamentos possíveis em situações-problema.

- Multiplicação de números naturais;

-Noções de segmentos de retas e elementos de um triângulo.

ATIVIDADE 1 – APRENDENDO A CONTAR DE UM MODO DIFERENTE

INSTRUÇÕES INICIAIS

Esta atividade será realizada no Laboratório de Informática Educativa (LIE), e serão utilizados os seguintes recursos: computador, um editor de desenho (Paint ou outro similar) e o vídeo “De Malas Prontas” (ver imagem 1) disponível no Banco Internacional de Objetos Educacionais através do seguinte endereço eletrônico: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17352.

Figura 1 - Vídeo “De Malas Prontas”

Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17352

A turma será dividida em quatro grupos, mas antes, professor e alunos deverão criar um blog. Sugere-se o seguinte título: “Vamos aprender a contar de um modo diferente!”, outras sugestões para a criação do blog encontram-se na seguinte aula publicada no portal do professor: Conhecendo sobre o lixo ao longo do tempo (http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=42829).

QUAL É A ATIVIDADE?

Inicialmente, o professor deverá organizar a turma em quatro grupos e explicar aos alunos que cada grupo receberá uma tarefa, esta será desenvolvida de acordo com as seguintes propostas:

Grupo 1 - Quantas são as formas de pintar a bandeira abaixo utilizando duas das seguintes cores: azul, vermelho e branco. E quantas são as formas de pintá-la, no caso em que 5 cores estão disponíveis? Represente todas as possibilidades no Paint e salve o arquivo.

Figura 2: Bandeira – Grupo 1

Fonte: Imagem do autor

Grupo2- Quais as maneiras de pintar a bandeira abaixo utilizando 3 cores diferentes dentre as seguintes cores: azul, vermelho,verde e branco? Represente todas as possibilidades no Paint e salve o arquivo.

Figura 3: Bandeira – Grupo 2

Fonte: Imagem do autor

Grupo3- De quantas maneiras pode-se pintar a bandeira abaixo, tendo disponíveis 4 cores e levando em consideração o fato de que faixas adjacentes não possam ter a mesma cor? Represente todas as possibilidades no Paint e salve o arquivo.

Figura 4: Bandeira – Grupo 3

Fonte: Imagem do autor

Grupo 4- De quantos modos a bandeira pode ser pintada, sabendo que estão disponíveis as seguintes cores: azul, verde, branco, vermelho, preto e marrom, e que as regiões adjacentes devem ser pintadas de cores diferentes. Represente todas as possibilidades no Paint e salve o arquivo.

Figura 5: Bandeira – Grupo 4

Fonte: Imagem do autor

APRESENTANDO RESOLUÇÕES

Após a realização do que foi proposto acima, os alunos deverão expor para o restante da turma o modo como desenvolveram a atividade, explicando quais procedimentos foram utilizados e as dificuldades encontradas. Em seguida, o professor questionará os alunos: “Existe uma forma de determinar o total de maneiras em que as bandeiras poderiam ser pintadas sem pintá-las? Em caso afirmativo, qual seria?”. As ideias dos alunos devem ser registradas no quadro e retomadas na próxima etapa dessa atividade.

DESCOBRINDO O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Nesse momento, será exibido o vídeo: “De Malas Prontas” até 6 minutos e 36 segundos. Recomenda-se que sejam feitas as seguintes perguntas aos alunos antes da exibição do filme:

- Qual a relação entre os problemas das bandeiras e o vídeo?

- Os procedimentos utilizados no vídeo podem ser utilizados nos problemas das bandeiras? Se sim, por quê?

- O que seria um problema de contagem?

- Como definir o procedimento utilizado para resolver o “problema das bandeiras”?

Após a exibição do filme o professor deverá retomar as respostas dadas pelos alunos no momento anterior e estimulá-los a relacionar o conteúdo apresentado no vídeo com os “problemas das bandeiras”.

ATIVIDADE 2 - DISCUTINDO O PRÍNCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM NO BLOG DA TURMA

Esta atividade será desenvolvida em três etapas a serem descritas a seguir:

ETAPA 1 - FIQUE ATENTO, O SEU NÚMERO DE TELEFONE PODE MUDAR!

Após a exibição do filme assistido na aula anterior e a análise das possíveis maneiras de determinar o total de possibilidades em uma situação sem precisar listá-las e das respostas dadas pelos alunos aos questionamentos sobre a relação da atividade com os conceitos e aspectos observados no vídeo, o professor deverá criar um post para estimular os discentes a utilizarem o PFC na resolução de uma situação-problema enfrentada recentemente por uma operadora de telefonia móvel no estado de São Paulo (convém ressaltar que esta situação foi e será enfrentada por outros estados na medida em que se torne necessário, assim, recomenda-se ao professor adaptá-la a realidade local). Nessa perspectiva, o professor deverá disponibilizar uma notícia divulgada na internet através do seguinte endereço eletrônico: http://www.ebc.com.br/noticias/brasil/2012/07/acrescimo-de-um-digito-vai-dobrar-capacidade-de-numeros-de-celulares-em-sao, em seguida, propor o seguinte questionamento: “Como o acréscimo de um dígito resolverá o problema da operadora em questão?”. O tempo sugerido para a discussão deste post no blog será de três dias, o professor deverá acompanhar as postagens dos alunos durante este período orientando-os em suas construções de resoluções.

COMPREENDENDO UM SISTEMA DE EMPLACAMENTO

O professor deverá criar um novo post no blog para os alunos analisarem outra situação do cotidiano envolvendo PFC. Inicialmente, ele deverá propor a leitura do texto “Placa de veículos” disponível no endereço eletrônico: http://blogdacidamoret.blogspot.com.br/2011/04/placas-de-veiculos.html. E, em seguida, o professor deverá propor as seguintes questões a serem discutidas:

1-      Levando em consideração os modelos para emplacamento dos carros, quais as possibilidades de emplacamento de cada modelo e a eficiência de cada um;

2-      No texto é informado que: “Em 2008 entraram em vigor duas novas regulamentações do Conselho Nacional de Trânsito (CONTRAN). As resoluções 231 e 241 estabeleceram um padrão para as letras e números das placas brasileiras. As placas para todas as classes de automóveis são pintadas, já para as motocicletas e ciclomotores passaram a ser obrigatoriamente refletivas. As cores das placas possuem cores diferentes de acordo com o tipo de uso de cada veículo”. Sabendo que o DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos, e supondo que essas placas podem assumir uma das seguintes cores :azul, branco, vermelho, cinza, preto, verde e vermelha. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Sugere-se, também, um período de três dias para o desenvolvimento da discussão no blog da turma.

CONSTRUINDO SITUAÇÕES ENVOLVENDO PFC

Após as discussões propostas ao longo dessa atividade, e com a turma dividida novamente em quatro grupos, cada um destes deverá elaborar uma situação do seu cotidiano em que seja oportuno utilizar o princípio fundamental da contagem e postar no blog para que os outros grupos a solucionem. O tempo para a elaboração da situação-problema e a resolução dos outros grupos ficará a critério do professor. Este deverá organizar um momento para a apresentação e discussão das quatro situações-problema propostas, estimulando os alunos a refletirem sobre a resolução dessas situações sem o uso do princípio fundamental da contagem, objetivando, assim, destacar a importância do estudo deste conteúdo curricular.

ATIVIDADE 3 – FAMILIARIZANDO-SE COM AGRUPAMENTOS DE ELEMENTOS: COMBINAÇÃO SIMPLES

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Esta atividade será realizada na sala de aula, os alunos deverão ser organizados em duplas, e os recursos utilizados serão: lápis ou canetinhas hidrocor e cópias dos cartões representados na figura abaixo:

Figura 6: Cartões para a atividade 3

Fonte: Imagem do autor

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Inicialmente, cada dupla receberá um cartão e desenvolverá a seguinte atividade de acordo com o seu respectivo cartão:

a) Dados os pontos do cartão, quantos e quais segmentos de reta distintos podem ser traçados?

b) Quantos e quais são os possíveis triângulos que se pode formar, considerando como vértices os pontos do cartão?

MOMENTO DO ALUNO:

Este é o momento em que os alunos realizarão a atividade proposta.

DISCUSSÃO:

Neste momento, os grupos deverão expor as suas soluções e o modo como desenvolveram a atividade. Com o objetivo de estimular uma discussão sobre o assunto tratado, o professor deverá propor os seguintes questionamentos: “E no caso de um cartão com oito pontos, quantos segmentos de retas e quantos triângulos podem ser construídos?”, “Existe uma maneira prática de calcular o número de segmentos? E o número de triângulos?”. 

SISTEMATIZAÇÃO: Recomenda-se que o professor comente com os alunos sobre a complexidade de se calcular o número de segmentos de reta de triângulos à medida que o número de pontos aumenta, e que o problema envolve combinação simples, pois se trata de um tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo, no caso os segmentos de reta ou os triângulos, se diferenciam somente pelos elementos que os compõe. Em seguida, sugere-se que ele utilize um dos cartões para construir a solução, na qual, inicialmente, utilizará a árvore de possibilidades e, em um segundo momento, os alunos deverão utilizar a expressão obtida no momento da discussão.

Sugestões de links para alunos:

Simulação “Combinações Cotidianas” site do Projeto Condigital

http://condigital.unicsulvirtual.com.br/conteudos/CombinacoesCotidianas/CombinacoesCotidianas.html Acesso em 25 Abril 2012 

Sugestões de links para professores:

Simulação “Sistema Combinatório” site do Projeto Condigital

http://condigital.unicsulvirtual.com.br/conteudos/SistemaCombinatorio/SistemaCombinatorio.html Acesso em 25 Abril 2012 

Links do Portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

Aula: “Noções de contagem - princípio multiplicativo”

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12340 Acesso em 25 Abril 2012

Sugere-se que o professor verifique se os alunos compreenderam o conceito do principio fundamental da contagem a partir das contribuições na discussão que relaciona o conteúdo do vídeo proposto com os “problemas das bandeiras”. Na atividade 2, recomenda-se ao docente averiguar se os alunos conseguiram interpretar e resolver problemas, a partir do princípio fundamental da contagem, através das postagens nas discussões e resoluções de situações-problema propostas no blog da turma. E na atividade 3, o professor poderá verificar se os alunos conseguiram determinar a quantidade de agrupamentos em uma situação-problema a partir da interpretação desta, bem como da sua ampliação, proposta no momento da discussão.