A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem desenvolver as habilidades de  a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22), são propostos como objetivos para esta aula:

• Mostrar que por um ponto podemos traçar infinitas retas.
• Levar os alunos a compreender que por dois pontos distintos passam uma única reta.
• Definir retas concorrentes, retas coincidentes, e retas paralelas.

3 horas/aula (50 minutos cada).

Noções de ponto, reta e plano.

Esta aula é continuação das aulas:

O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 1: estudando a noção de plano.Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56785 . Acesso em 28 de Julho de 2014.

O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 2: estudando a noção de ponto. Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57106. Acesso em 13 set. 2014.

O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 3: estudando a noção de reta. Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57107. Acesso em 13 set. 2014.

O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 4: comparando duas retas. Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57738. Acesso em 18 set. 2014.

 

Comentário: Esta aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação:

Para esta aula, espera-se que as noções de ponto, reta e plano já tenham sido estudadas com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

Fonte: Arquivo do autor.

 

PRIMEIRO MOMENTO: Estudando as propriedades das retas.

 

Professor(a), inicie a aula retomando os conceitos de ponto, reta e plano, caso seja necessário, recorra às aulas que antecedem esta.

Após todos terem compreendido estes conceitos, peça para que abram o software GeoGebra e, para facilitar os estudos, que ocultem os eixos cartesianos. Para ocultá-los, basta clicar com o botão direito do mouse sobre um dos eixos e selecionar a opção Eixos (figura 2).

 

Figura 2: Ocultar os eixos cartesianos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Em seguida, questione:

- Quantas retas distintas podemos traçar passando por um determinado ponto?

Espera-se que os alunos percebam que podemos traçar infinitas retas.

Para ficar claro para os alunos, peçam para que eles construam um ponto no GeoGebra. Para isto, oriente-os para selecionem a opção Novo Ponto, como indicado na figura 3.

 

Figura 3: Construindo um novo ponto.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Após construir o ponto, peçam para selecionar a opção Reta (Dois Pontos), como indicado na figura 4. Instrua-os que para construir uma reta, devem primeiro clicar sobre o ponto A, criado e, em seguida, sobre outro ponto no GeoGebra (figura 5).

 

Observação: Após selecionar a opção Reta (Dois Pontos) se os dois pontos já existirem, basta clicar sobre eles, caso contrário, ao clicar sobre a tela onde não há um ponto, o software cria um ponto automaticamente neste local. Assim, para criar uma reta passando pelo ponto A, basta clicar primeiramente sobre ele e, em seguida, sobre onde se desejar criar um segundo ponto.

 

Figura 4: Como construir uma reta passando por dois pontos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 5: Reta passando por dois pontos.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Em seguida, volte a questionar:

 

- Podemos traçar uma segunda reta, passando por A, diferente da reta que acabamos de construir?

Espera-se que os alunos percebam que para construir esta reta, basta clicar sobre o ponto A e em seguida sobre um ponto C que não esteja sobre a reta anterior. Veja a figura 6.

 

Figura 6: Duas retas distintas passando por um mesmo ponto.

Fonte: Arquivo do autor.

 

- Podemos traçar uma terceira reta, passando por A, diferente das retas que traçamos anteriormente?

Espera-se que os alunos percebam que para construir esta reta, basta clicar sobre o ponto A e em seguida sobre um ponto que não esteja sobre alguma das duas retas anteriores.

- Assim, quantas retas distintas podemos traçar passando por um mesmo ponto?

Espera-se que os alunos percebam que podemos tomar infinitos pontos distintos de A e, portanto, construir infinitas retas passando por A.

 

Em seguida, peça para que os alunos selecionem a opção Reta (Dois Pontos) e tentem traçar uma segunda reta, passando pelos mesmos pontos A e B. Espera-se que os alunos, ao tentarem construir uma segunda reta, cheguem à conclusão de que esta reta coincidirá com a primeira. Portanto, existe uma única reta passando por dois pontos.

 

Peça agora para os alunos construírem um ponto C sobre a reta inicial (reta que passa por A e B). Defina estes três pontos como sendo pontos colineares, pois estão sobre uma mesma reta. E em seguida, peça para que construam um ponto D fora desta reta (figura 7).

 

Figura 7: Construindo um ponto C sobre a reta e um ponto D fora da reta.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Então questione:

- Utilizando a ferramenta para construir uma reta (Reta Dois Pontos), tente encontrar uma reta passando, simultaneamente, pelos pontos A, B e D.

Espera-se que os alunos percebam que não é possível construir tal reta, pois, qualquer reta traçada contém apenas dois destes pontos simultaneamente.

 

Assim, classifique estes pontos como pontos não colineares, isto é, que não estão sobre uma mesma reta.

 

SEGUNDO MOMENTO: Atividades de contextualização.

 

Segue abaixo algumas sugestões de atividades de contextualização.

1-      Em cada item, trace todas as possíveis retas que passem por dois pontos dados.

a)      Pontos A e B.

 

Quantas retas foram traçadas?

Quantos pontos, no mínimo, são necessários para se determinar uma reta?

 

b)      Pontos A, B e C.

 

Quantas retas foram traçadas?

Estes pontos são colineares?

 

c)      Pontos A, B e C.

 

Quantas retas foram traçadas?

Quais retas passaram pelo ponto A?

Estes três pontos são colineares?

 

d)     Pontos A, B, C e D.

 

Quantas retas foram traçadas?

Quais retas assaram pelo ponto A?

Os pontos A, D e C são colineares?

Para complementar o estudo de pontos, retas, planos, semirretas, semiplanos:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm#m112a02. Acesso em 18 jul. 2014.

http://www.sofazquemsabe.com/2011/11/nocoes-fundamentais-da-geometria-ideias.html. Acesso em 18 jul. 2014.

http://egeom.blogspot.com.br/2011/11/pontoreta-e-plano-conceitos-primitivos.html. Acesso em 18 jul. 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.