A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como identificar características de figuras planas ou espaciais (H7) e resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8), é proposto para esta aula o seguinte objetivo

• Demonstrar, com o auxílio do GeoGebra, o Teorema que diz que em um triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é tal que sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

1 hora/aula de 50 minutos

• Características e propriedades dos triângulos.
• Propriedades de ângulos.
• Casos de congruência de triângulos, propriedades do paralelogramo e classificação e propriedades de ângulos formados por duas retas paralelas "cortadas" por um transversal.
• Noções básicas do Software GeoGebra.

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, para resolver o problema proposto.

 

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

 

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em <http://migre.me/mfpDs>, acesso em 12 out. 2014. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 12 out. 2014.

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O software GeoGebra – apresentação:

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

 

Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra

Fonte: Arquivo da Autora

 

Um aspecto importante a ser evidenciado é alertado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM – (BRASIL, 1999), que afirmam que a inserção de computadores na sociedade em geral “exigirá do ensino de matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (p. 252).

 

Tais orientações e sugestões levam-nos a pensar que a utilização de computadores no ensino de matemática pode desencadear uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Esse fato exige uma nova concepção e formação de professor “que longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional” (BRASIL, 1998, p. 44).

 

A AULA ...

 

Através de animações construídas no Software GeoGebra, que serão utilizadas de forma dinâmica, os alunos deverão explorar os elementos da construção e veicular ideias e argumentos matemáticos para demonstrar os teoremas apresentados.

 

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas em momentos oportunos. Além disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multimídia conectado ao computador.

 

Sugerimos que inicie trabalhando as partes 1, 2 e 3, disponíveis no portal do professor nas aulas:

• "Geometria plana - parte 1: demonstrando, com o auxílio do GeoGebra, o Teorema da Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo", disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58230. 
• "Geometria plana - parte 2: demonstrando, com o auxílio do GeoGebra, o Teorema dos Segmentos Congruentes da Mediatriz de um Segmento AB", disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58231. 
• “Geometria plana – parte 3: demonstrando, com o auxílio do GeoGebra, o Teorema da existência de uma Circunferência passando pelos Vértices de um Triângulo”, disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58234.

 

TEOREMA 4 – O SEGMENTO QUE UNE OS PONTOS MÉDIOS DE DOIS LADOS DE UM TRIÂNGULO É PARALELO AO TERCEIRO LADO, E SUA MEDIDA É IGUAL À METADE DA MEDIDA DO TERCEIRO LADO

 

Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que construam o triângulo ABC (figura 2).

 

Figura 2 – Triângulo ABC

Fonte: Arquivo da Autora

 

Solicite a construção dos pontos médios dos segmentos AC e BC. Chame-os de D e E, respectivamente, e crie a semirreta DE (figura 3).

 

Figura 3 – Pontos médios dos segmentos AC e BC

Fonte: Arquivo da Autora

 

Levante a seguinte questão:

 

1)    O que podemos dizer em relação aos segmentos AD e DC? E em relação aos segmentos BE e EC?

 

Padrão de resposta esperado:

“Os segmentos AD e DC são congruentes, pois D divide o segmento AC em duas partes iguais. Assim como os segmentos BE e EC são congruentes, pois E divide o segmento BC em duas partes iguais”.

 

Solicite a construção da reta r, paralela ao segmento AC, passando por pelo ponto B. Peça que marquem o ponto F de intersecção entre a reta r e a semirreta DE (figura 4).

 

Figura 4 – Reta r, paralela ao segmento AC, passando por pelo ponto B

Fonte: Arquivo da Autora

 

Levante as seguintes questões:

 

1)    O que podemos dizer em relação aos ângulos CÊD e FÊB?

 

Padrão de resposta esperado:

“Os ângulos CÊD e FÊB são opostos pelo vértice E, logo podemos dizer que são congruentes (figura 5)”.

 

Figura 5 – Opostos pelo vértice

Fonte: Arquivo da Autora

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de ângulos opostos pelo vértice.

 

2)    O que podemos dizer em relação aos ângulos DCE e FBE?

 

Padrão de resposta esperado:

“Podemos dizer que os ângulos são congruentes, pois são alternos internos (figura 6)”.

 

Figura 6 – Ângulos Alternos Internos

Fonte: Arquivo da Autora

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar a definição de ângulos alternos internos.

 

3)    Observando os triângulos CED e BEF o que podemos dizer sobre eles? E em relação os segmentos BF e AD?

 

Padrão de resposta esperado:

“O triângulo CED e BEF são congruentes pelo caso de congruência Ângulo, Lado, Ângulo (ALA), já que possui dois ângulos congruentes e um lado congruente (figura 7). Logo, os segmentos BF e CD são congruentes, o que se pode concluir que os segmentos BF e AD também são congruentes”.

 

Figura 7 – Congruência entre os triângulos CED e BEF

Fonte: Arquivo da Autora

 

Comentário: Talvez seja necessário retomar os casos de congruência entre triângulos.

 

4)    O que podemos dizer em relação os segmentos BF e AD?  E em relação os segmentos DE e EF?

 

Padrão de resposta esperado:

“Da questão anterior, podemos dizer que os segmentos BF e CD são congruentes, o que se pode concluir que os segmentos BF e AD também são congruentes. Da mesma maneira pode-se concluir que os segmentos DE e EF também são congruentes, ou seja, o ponto E é o ponto médio do segmento DF”.

 

5)    Como podemos classificar o quadrilátero ABFD?

 

Padrão de resposta esperado:

“O quadrilátero ABFD é um paralelogramo. Logo, os segmentos AD e BF são congruentes, assim como os segmentos AB e DF são congruentes (figura 8)”.

 

Figura 8 – Paralelogramo ABFD

Fonte: Arquivo da Autora

 

6)    O que podemos dizer em relação os segmentos DE e AB?

 

Padrão de resposta esperado:

“Da questão 4, concluímos que E é o ponto médio do segmento DF, e da questão 6 concluímos que os segmentos AB e DF são congruentes. Logo, temos que o segmento DE é vale a metade do segmento AB (DE = AB/2)”.

 

Para finalizar, solicite aos alunos que movimentem os vértices do triângulo para comprovarem o teorema para qualquer triângulo (figura 9).

 

Figura 9 – Movimentando os vértices do triângulo

Fonte: Arquivo da Autora

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube, disponível em <http://migre.me/jKufa>, acesso em 14 jun. 2014.

 

Referências

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

 

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

 

 ______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

 

______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio: ciência da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília, 1999.

 

GALEIRA DE TRABALHOS DO EDUMATEC. Sugestões de atividades para sala de aula. Disponível em <http://migre.me/mfDj0>. Acesso em 12 out 2014.

 

ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 14 jun. 2014. 

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se que o (a) professor (a) considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. As construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, posteriormente, assim, o (a) professor (a) pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.