Esta aula busca desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

 

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, desenvolver a habilidade de:

 

• Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20).

 

Para isto são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• Localizar e visualizar pares ordenados utilizando o software GeoGebra.
• Observar a relação de dependência entre as coordenadas estabelecidas a partir de algumas relações entre conjuntos.
• Construir o conceito de função enquanto um caso particular das relações.

2 horas/aula de 50 minutos.

• Relações entre elementos de dois conjuntos.
• Localização de pares ordenados (x,y) no Plano Cartesiano.

Essa aula foi desenvolvida para se passar no laboratório de informática, pois será necessário utilizar o software GeoGebra que está disponível em http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/ (acesso 09 out. 2014). Caso o laboratório não esteja disponível, é importante providenciar um projetor e um computador para a sala de aula.

 

A proposta constitui-se na sequência das aulas:

 

Funções:  construindo relações entre conjuntos no papel e no GeoGebra – Parte 1.

Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57094 (acesso 09 out. 2014).

 

Funções:  construindo relações entre conjuntos no papel e no GeoGebra – Parte 2.

Disponível em:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57466 (acesso 09 out. 2014).

 

Desafios no GeoGebra: dimensionando e movimentando imagens por meio de pontos e controles deslizantes.

Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57687 (acesso 09 out. 2014).

 

Funções: construindo pares ordenados no GeoGebra e observando algumas relações de dependência entre suas coordenadas.

Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57763 (acesso 09 out. 2014).

 

 

O objetivo dessa coletânea de aulas é contribuir para o ensino de Funções por meio da utilização do software GeoGebra. A ideia é iniciar as discussões a partir de relações entre elementos de diferentes conjuntos. No computador, os elementos passam a ser observados e movimentados no plano cartesiano, bastando para isso modificar suas coordenadas (x,y). As construções são idealizadas para promover a introdução à noção de função.

 

Nas aulas anteriores, vê-se a possibilidade da construção e visualização de relações entre pares ordenados utilizando o software GeoGebra. Na última aula da sequência posta até o momento, observa-se uma relação de dependência entre abscissas e ordenadas, inclusive, salientando as suas respectivas leis de formação. Contudo, não são todas as relações que se configuram como funções.

Diante do exposto, apresenta-se essa aula, cujo objetivo é dar continuidade a sequência citada, buscando discutir e reconhecer as relações que podem ser categorizadas como funções.

 

 

A aula

 

Professor(a), inicie a aula questionando os(as) estudantes sobre como compreendem o termo “função”.

 

- O que vocês entendem a respeito do termo “função”?

 

As respostas podem aparecer de formas diversificadas. Aproveite-as para discutir algumas formas de compreender o termo como, por exemplo, as funções vitais, que são atribuições dos organismos para mantê-los vivos. Contudo, conclua discutindo sobre a relação de dependência. Exemplifique:

 

• O preço a ser pago por um carro depende, dentre outros fatores, do ano de fabricação do carro. Portanto, pode-se considerar que o preço a ser pago pelo carro é função do seu ano de fabricação.
• A quantidade de gordura em nosso sangue depende, dentre outros fatores, da quantidade de frituras que comemos. Portanto, pode-se considerar que a quantidade de gordura presente no nosso sangue é função da quantidade de frituras ingeridas.
• O consumo de energia elétrica do chuveiro depende, dentre outros fatores, da potência do chuveiro. Portanto, pode-se considerar que o consumo de energia elétrica do chuveiro é função de sua potência.

 

COMENTÁRIO: Ninguém melhor que o(a) próprio(a) professor(a) da turma para criar exemplos mais adequados à rotina dos(as) alunos(as).

 

Após essa discussão, retome com os(as) estudantes a ideia discutida na aula anterior, na qual foram observadas algumas relações de dependência entre a abscissa x e a ordenada y. Sugere-se exemplificar a partir de uma, ou mais, lei(s) de formação, fazendo um rascunho na lousa.

 

Em seguida, questione os estudantes:

 

- Se a ideia de função está diretamente ligada a uma relação de dependência, será que toda relação é, também, uma função?

 

Torna-se complicado descrever uma resposta esperada para essa pergunta. Contudo cabe convergir para a ideia de que quando se fala em função, como fora exemplificado, há uma característica em particular. Volte aos exemplos e discuta:

 

- O preço a ser pago por um carro depende, dentre outros fatores, do ano de fabricação do carro.

 

Ao considerar que o preço a ser pago é função do ano de fabricação do carro, observa-se que para cada ano diferente existe um único valor para o preço do carro (desconsiderando particularidades que possam manter o preço constante, como por exemplo, a aquisição de itens fora de série para o veículo que supram sua desvalorização cronológica).

 

- A quantidade de gordura em nosso sangue depende, dentre outros fatores, da quantidade de frituras que comemos.

 

Ao considerar que a quantidade de gordura em nosso sangue é função da quantidade de frituras que comemos, observa-se que para cada quantidade de gordura ingerida, obtém-se um valor particular para a quantidade de gordura no sangue.

 

- O consumo de energia elétrica do chuveiro depende, dentre outros fatores, da potência do chuveiro.

 

Ao considerar que o consumo de energia elétrica do chuveiro é função de sua potência, observa-se que para cada valor de potência o consumo muda para um valor específico.

Após essa reflexão, questione:

 

- O que se pode concluir a respeito dessas situações?

 

Resposta esperada: Se o valor A está em função do valor B, então existe um valor específico (único) de A para cada valor de B.

 

Professor(a), a última questão requer uma pausa, no sentido de que é importante que todos(as) tenham percebido que o termo função, como empregado nos exemplos, ilustra um tipo de relação na qual,  se o valor A está em função do valor B, então existe um valor específico (único) de A para cada valor de B. Portanto, invista o tempo necessário para que isso fique claro.

Com base nessa discussão, é hora de retomar os pares ordenados, mesmo antes de se definir formalmente o conceito de função. Para isso sugerimos as atividades a seguir:

 

Atividade 1: Para cada conjunto de pares ordenados (x,y) determine se a ordenada y está em função da abscissa  x. Justifique.

a) {(2,4), (4,16), (5,25), (6,36)}

 

Resposta esperada: Sim, a ordenada y está em função da abscissa  x, pois para cada valor da abscissa x, tem-se o valor y igual ao seu quadrado.

 

b) {(2,2), (-1,-1), (-3,-3), (0,0)}

 

Resposta esperada: Sim, a ordenada y está em função da abscissa  x e, nesse caso, tem-se x = y.

 

c) {(5,5), (1,1), (5,0), (5,3)}

 

Resposta esperada: Nesse caso y não está em função de x, pois, para x = 5 é possível observar y = 5, y = 0 e y = 3. Como há diferentes valores de y para um único valor de x não se pode dizer que y está em função de x, pois varia, mesmo que o valor de x permaneça o mesmo.

 

d) {(20,25), (-5,0), (-5,1), (20,18)}

 

Resposta esperada: Nesse caso y não está em função de x, pois, para x = - 5 é possível observar y = 0 e y = 1. Como há diferentes valores de y para um único valor de x não se pode dizer que y está em função de x, pois varia, mesmo que o valor de x permaneça o mesmo.

 

Professor(a), observe as “respostas esperadas” descrita nos dois últimos casos. Caso ainda haja dúvidas anteriores, a discussão por meio das considerações sugeridas como respostas esperadas podem ser muito úteis. Portanto, caso necessário faça-as com os(as) alunos(as).

 

SITUAÇÃO: Foi entregue a um(a) estudante uma lista contendo relações entre conjuntos representados por pares ordenados da forma representados na forma (x,y). Foi solicitado, então que o mesmo a analisasse e que verificasse se essas relações representavam funções. O(a) aluno(a) concluiu que a relação apresentada não representava uma função, porque os conjuntos eram formados por pares ordenados em que a ordenada y não estava em função da abscissa x.

Apresente essa situação aos alunos e, em seguida, a atividade 2 na qual o(a) estudante deve estabelecer um motivo pelo qual tenha chegado a essa conclusão.

 

Atividade 2: Qual o motivo que você estabelece para justificar que a variável não está em função de x?

 

Resposta esperada: Ao se observar os pares ordenados, encontrou-se dois ou mais pares em que, para um mesmo valor de x, havia valores diferentes para y. Por isso, y não está em função de x, pois, mesmo mantendo fixo o valor de x, y continua variando.

 

COMENTÁRIO: Ao concluir a resposta, é possível fazer verbalmente o questionamento de que “como é possível dizer que y está em função de x, ou seja, depende de x se, mesmo ao se manter o valor de x fixo, o valor de y continua mudando?”.

Em continuidade às atividades, solicite que os(as) alunos(as) plotem, no GeoGebra, os conjuntos de pontos da atividade 1, separando-os por cores e formato de pontos.

 

Atividade 3: Crie, em forma de pontos, todos os pares ordenados  da atividade 1, separando os conjuntos por cores e formatos de pontos diferenciados.

 

Professor(a), caso seja necessário, auxilie os(as) estudantes com o software. Contudo, se forem consideradas as aulas anteriores, certamente não haverá problemas. Obtém-se algo semelhante ao que é ilustrado pela figura 1.

 

 

Figura 1: Representação dos pares ordenados

Fonte: Arquivo do autor

 

 

OBSERVAÇÃO: Professor(a), a proximidade dos pontos pode ser alterada de modo que a visualização fique mais confortável, bastando para isso alterar o zoom na janela de visualização. Uma das maneiras é acessar a opção na barra de ferramentas da parte superior da janela do software.

 

Quando todos(as) concluírem, peça para que eles registrem e respondam o seguinte questionamento em seus cadernos:

 

- Observando a representação gráfica dos conjuntos, o que é possível de se evidenciar quando:

 

a) y não está em função de x.

 

Resposta esperada: Existem pontos alinhados na vertical.

 

b) y está em função de x.

 

Resposta esperada: Não existem pontos alinhados na vertical.

 

 

COMENTÁRIO: Repare que a ordem dos questionamentos (primeiro quando y não está em função de x e depois quando está) é proposital, de modo a levar o(a) aluno(a) a perceber que, quando há pontos alinhados verticalmente, a ordenada não está em função da abscissa. Caso seja necessário solicite que criem um conjunto de pontos nos quais todas as abscissas estejam fixas, enquanto todas as ordenadas variam e que os plotem, assim constatarão um “alinhamento perfeito” na vertical. Sugere-se solicitar que registrem uma conclusão a respeito.

 

Professor(a), observe que ainda não foi colocada a definição de função em matemática de maneira formal. Esse é o objetivo, pois, ao final do que foi trabalhado, sugere-se solicitar como atividades para posterior avaliação o seguinte:

 

Atividade 4: Crie dois conjuntos de pontos. O primeiro deve ser construído de modo que pontos nos quais as ordenadas estejam em função das abscissas, o segundo deve conter pontos em que não existe a possibilidade de afirmar que y está em função de x.

 

Atividade 5: Tente, com suas palavras, formalizar uma definição para função em matemática.

 

Atividade 6: Pesquise e registre uma definição formal para funções.

 

Espera-se que, com essa aula, os(as) estudantes possam ter partido de colocações lógicas, a partir de exemplos práticos, para construir o conceito de função, bem como, observar graficamente  quando conjuntos de pares ordenados não podem ser considerados partes de funções.

Definição de função

Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/definicao-funcao.htm (acesso 10 out. 2014).

 

Definição e exemplos de funções

Disponível em: http://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/funcoes/definicao_exemplo/ (acesso 10 out. 2014).

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos(as) alunos(as). O(a) professor(a) deve salvar cópia dos arquivos do GeoGebra. Utilize também os registros das atividades 4, 5 e 6.