10/11/2010
Rita Maria Cardoso Meirelles, Ivail Muniz Junior, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes, Clayton Gonçalves Silva, Raquel Cupolillo Simões de Sousa.
Modalidad / Nivel de Enseñanza | Disciplina | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Álgebra |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Operações Comerciais |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Operações Administrativas |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Cooperativismo |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Operações Financeiras |
Ensino Médio | Matemática | Números e operações |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Transações Imobiliárias |
Educação de Jovens e Adultos - 2º ciclo | Matemática | Grandezas e medidas |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Vendas |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Contabilidade |
que o valor do dinheiro se transforma no tempo;
como essa transformação ocorre, a partir das taxas e do conceito de equivalência de capitais.
como decidir racionalmente entre comprar à vista ou a prazo.
Porcentagem;
Juros compostos.
Professor, esse tema é um dos mais importantes em Matemática Financeira. Dele dependem vários outros conceitos financeiros que serão estudados. Comece a aula, tendo em mãos duas notas diferentes, uma de 20 reais e outra de 10 reais por exemplo. Pergunte a eles o que eles preferem: ganhar agora a nota de 10 reais ou de a 20 reais? Em seguida, amplie a pergunta: O que eles preferem uma nota de 10 agora ou a de 20 reais daqui a 1 ano. E se fossem 5 anos? Para responder a segunda e a terceira pergunta, vários aspectos podem ser considerados, como a necessidade, a vontade de consumir, dentre outros. O aspecto que abordaremos é o financeiro, ou seja, 10 reais daqui a 5 anos, valem menos, mais ou o mesmo que 20 reais? Observe que o valor das notas não é absoluto. Ele depende, essencialmente, do tempo e da taxa. Dizemos que depende de que época ele está associado. A quantia de 10 reais hoje pode valer muito mais que 20 reais daqui a um ano. Para isso precisaremos de uma taxa, que pode ser a da poupança, de um fundo de renda fixa, de um fundo de ações, da rentabilidade da previdência privada, enfim, da taxa que a pessoa em questão consiga fazer o seu dinheiro render. Vamos à aula!
Depois da introdução acima, sugerimos que o professor convide os alunos a assistirem o vídeo: Matemática nas Finanças da série Matemática em toda parte, TV ESCOLA. Este vídeo tem duração de 26 minutos. O objetivo inicial desta exibição é aproximar os alunos do vocabulário utilizado no mundo das finanças e na matemática financeira, além de motivar o aluno para o tema. Em seguida apresentaremos uma sequência de atividades para a investigação do conceito: equivalência de capitais.
A UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA nessas atividades é muito importante. Utilizar tecnologia em matemática financeira não só é recomendável como necessário na maioria dos problemas financeiros da vida real.
ATIVIDADE 1.
Transportando o dinheiro no tempo.
Utilizaremos essa atividade com dois objetivos: relembrar a fórmula (*) de juros compostos. Mostrar que essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais.
(*)melhor seria que o aluno soubesse que essa fórmula deriva da idéia de que um capital C, aumentado de uma taxa i, fica multiplicado por (1+i), que foi trabalhada na aula anterior "Juros Compostos e P.G." ( http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=24132).
Com o uso de um projetor, apresente para a turma o vídeo da TV Escola disponível por meio do link abaixo.
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?&option=com_zoo&view=item&item_id=2256
Você também pode fazer dowload do vídeo pelo link abaixo (111 MB):
Matemática nas finanças [Matemática em toda parte] - Link: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/12534/open/file/Matematica_nas_finacas.flv?sequence=2
Depois proponha aos alunos que resolvam individualmente os problemas a seguir.
Ao final faça a correção destacando de forma resumida a maneira como "transportar" o dinheiro no tempo.
Problema 1.
Fernando fez um empréstimo de R$ 10 000,00, a uma taxa de juros de 5% ao mês. Qual a dívida de Fernando daqui a 5 meses, sabendo-se que não efetuou pagamentos nesse período?
Problema 2.
Fernando pegou uma quantia emprestada em Janeiro, a juros de 5% ao mês, com o compromisso de pagar tudo até JUNHO. Para seu espanto, sua dívida em Abril era de R$ 11 576,25. Sabendo que não efetuou nenhum pagamento da dívida nesse período, responda aos itens abaixo.
JAN |
FEV |
MAR |
ABR |
MAI |
JUN |
|
|
|
11 576,25 |
|
|
a) Qual foi o valor do empréstimo feito por Fernando?
b) Preencha a tabela acima com os valores da dívida a cada mês.
c) Você usou a mesma estratégia do primeiro problema? Explique sua estratégia.
Nota: Perceber se os alunos conseguiram resolver o problema com a mesma fórmula de Juros compostos, é muito importante nessa atividade. Se o aluno não criou uma estratégia para resolver o problema, usando ou não a fórmula de juros compostos, o professor deve sugerir caminhos para que ele avance. Intervir sem retirar o prazer da descoberta, como dizia Miguel de G
Para resolver o problema precisamos deslocar o dinheiro no tempo. Ou seja, 10000 reais hoje valem quanto daqui a 5 meses, a essa taxa de 5% ao mês?
C5 = C0.(1+i)5
C5 = 10.000.(1+0,05)5
C5 = 12.155,06.
No segundo problema, queremos saber quanto valia a dívida de abril, na data do empréstimo, feito em Janeiro. Precisamos, portanto, deslocar essa quantia 3 meses para trás.
Calculando os valores para todos os meses, a tabela fica assim:
VALOR INICIAL 10000
TAXA 5%
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
JAN |
FEV |
MAR |
ABR |
MAI |
JUN |
10000,00 |
10500,00 |
11025,00 |
11576,25 |
12155,06 |
12762,82 |
Para obter o valor futuro (após n períodos), basta MULTIPLICAR o atual por (1 + i)
Para obter o valor atual (n períodos antes), basta DIVIDIR o VALOR futuro por (1 + i)
DESLOCANDO QUANTIAS NO TEMPO.
Uma aula que trata de forma única o que foi abordado nessa atividade é a aula do Professor Augusto César de Oliveira, disponível em http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2007. NÃO DEIXE DE ASSISTIR!!!
Transportando o dinheiro no tempo e comparando capitais em épocas diferentes. Utilizaremos essa atividade com dois objetivos:
Separe os alunos em grupos de até quatro integrantes.
Uma observação: De início, REFORCE as seguintes informações:
Em seguida, proponha aos grupos o problema abaixo, de preferência entregando em folhas previamente preparadas.
Problema.
Arthur tomou um empréstimo de R$ 10.000,00 a juros mensais de 6% ao mês. No primeiro mês, pagou R$ 3.000,00; no segundo mês pagou R$ 5.000,00 e no quarto mês quitou a dívida. Qual o valor desse último pagamento?
Essa é uma excelente oportunidade para utilizar a representação de quantias, ao longo do tempo, através de setas. Assim, a situação descrita acima pode ser representada da forma abaixo.
Deixe os alunos pensarem no problema. O Professor pode orientar os alunos, em caso de muitas dificuldades, as estratégias. Veja algumas delas abaixo.
Há diversas maneiras para resolver esse problema. Uma delas é trazer os valores para uma mesma época. Lembre que as formas de pagamento a seguir são equivalentes, ou seja, 10000 reais hoje equivalem ao fluxo de pagamentos apresentado.
Pode-se trazer tudo para a época zero (data do empréstimo aqui); levar tudo para época 4, etc. Trazendo os valores para a época zero, e igualando temos:
10000 = 3000/1,06 + 5000/1,062 + P/1,064.
P = R$ 3433,72.
À vista ou a prazo?
Existe um mito de que comprar À vista é sempre melhor! Você conhece alguém que pensa assim? Outros pensam que comprar a prazo é bom porque você vai pagando aos poucos. Realmente, para uma parcela grande da população a aquisição de bens duráveis, como geladeiras, móveis, carros e principalmente a tão sonhada casa própria só é possível através de um financiamento. Mas se pagar à vista for possível, como decidir entre comprar à vista ou a prazo. Essa atividade fornecerá elementos importantes na tomada dessa decisão.
Para tornar mais dinâmica a aula divida a turma em 4 grupos. Cada um deverá resolver o problema a seguir utilizando uma das opções de pagamento (A, B, C ou D). Em seguida, cada grupo deverá argumentar porque sua opção é melhor do que as demais. Ao final de todas as explicações todos os alunos devem escolher uma das opções de pagamento apresentada pelos grupos. No entanto, deixe claro que o membro de um grupo não poderá escolher a proposta defendida pelo próprio grupo!
Faça a apuração dos votos e discuta com os alunos quais foram os argumentos apresentados pela proposta vencedora.
Após um rápido debate, apresente com a participação dos alunos, as contas correspondentes a cada opção de pagamento e mostre como a matemática pode ajudar nas decisões financeiras!
Apresente o problema abaixo para os alunos.
Problema.
O professor IVAIL tem 4 opções de financiamento na compra de um Laptop, cujo preço anunciado é de R$ 3.000,00.
A) À vista com 5% de desconto;
B) Em três prestações mensais e iguais de 1000 reais cada, no sistema (1+2);
C) Em quatro prestações mensais e iguais de 750 reais cada, no sistema (1+3);
D) Em seis prestações de 500 reais cada, no sistema (0+6);
Sabendo que o dinheiro vale para ele 3% ao mês, qual é a melhor opção de pagamento?
Antes de atacarmos o problema matematicamente, peça aos alunos para dizerem uma ordem de preferência. Dê dois minutos apenas. O objetivo nesse item é apenas deixar registrada uma primeira impressão.
a) olhando as opções, qual seria a ordem de classificação (melhores opções de financiamento) para rosana, na sua opinião?
Posição |
Opção |
1ª |
|
2ª |
|
3ª |
|
4ª |
|
É preciso explicar o que significa : “... o dinheiro vale para ele 3% ao mês...”. Isso significa que ele consegue investir seu dinheiro a 3% ao mês. Com isso, ele pode investir o valor de à vista, e ir retirando mês a mês o valor das parcelas de um financiamento, por exemplo. Entendido isso, é hora de atacar o problema matematicamente!
Sugerimos que com os conceitos já estudados, o professor deixe seus alunos pensarem um pouco. Dúvidas surgirão e aí a ação do professor é fundamental. O professor pode conduzir a resolução com algumas dicas/perguntas, tais como:
1) Quantos reais são necessários para comprar à vista o computador?
2) Quantos reais são necessários HOJE, para comprar o computador na opção B, considerando que a taxa de investimento do professor IVAIL? Lembre que ele precisa de um valor que seja EQUIVALENTE ao fluxo dessa opção. Esse tipo problema já foi resolvido antes.
3) Ainda analisando a opção B, pense em cada parcela separadamente. Quantos reais preciso para pagar a primeira parcela? Ora preciso de 1000 reais, pois está na época zero. Quantos reais preciso hoje para pagar a segunda parcela? Preciso de um valor que, daqui a um mês, seja igual a 1000 reais. Para isso preciso trazer 1000 reais do mês 1 para o mês 0, o que me dá 1000/1,03 = 970,87. Isso significa que 970,87 HOJE, vale o mesmo que 1000 reais daqui a um mês, ou seja, ela aplica HOJE 970,87 e resgata daqui a 1 MÊS 1000 reais, pagando a prestação daquele mês!
4) Para pagar a terceira, vou precisar, HOJE, de 1000/1,032, que é igual a 942,60 reais. Agora basta somar os valores necessários hoje para pagar o computador, o que dá 1000 + 970,87 + 942,60 = 2913,47. Assim, 2913,47 são necessários, hoje, para comprar o computador usando a estratégia de aplicar e pagar, descrita acima. Veja o fluxo de pagamentos abaixo.
MÊS |
VALOR |
PAGAMENTO |
SALDO APLICAÇÃO |
0 |
2913,47 |
1000 |
1913,47 |
1 |
1970,87 |
1000 |
970,87 |
2 |
1000,00 |
1000 |
0,00 |
5) De um modo geral, preciso descobrir, indo por esse caminho, qual o valor de cada prestação hoje.
Conclua a aula, pedindo aos alunos para refazerem a ordem de classificação das opções de financiamento, usando a análise que fizeram no item anterior.
Lembre aos alunos o significado de época zero (HOJE).
Representando as formas de pagamento no tempo temos:
Trazendo os valores para a mesma época (ZERO nesse caso), temos:
As tabelas abaixo mostram o valor de cada parcela na época zero (HOJE).
OPÇÃO A |
2850,00 |
|
|
|
|
|
|
MÊS |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
PRESTAÇÃO |
3000 |
|
|
|
|
|
|
HOJE |
2850 |
|
|
|
|
|
|
OPÇÃO B |
2913,47 |
|
|
|
|
|
|
MÊS |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
PRESTAÇÕES |
1000 |
1000 |
1000 |
|
|
|
|
HOJE |
1000,00 |
970,87 |
942,60 |
|
|
|
|
OPÇÃO C |
2871,46 |
|
|
|
|
|
|
MÊS |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
PRESTAÇÕES |
750 |
750 |
750 |
750 |
|
|
|
HOJE |
750,00 |
728,16 |
706,95 |
686,36 |
|
|
|
OPÇÃO D |
2708,60 |
|
|
|
|
|
|
MÊS |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
PRESTAÇÕES |
|
500 |
500 |
500 |
500 |
500 |
500 |
HOJE |
|
485,44 |
471,30 |
457,57 |
444,24 |
431,30 |
418,74 |
O computador custa 2708,60 na opção D, que é o menor valor presente de todas as opções. Em seguida vem pagar à vista seguida das outras opções. Logo, do ponto de vista financeiro, D, nesse caso, é a melhor opção.
Vídeos relacionados ao consumo e orçamento das famílias.
http://www.youtube.com/watch?v=51mbDDhq9gQ
Planejamento Financeiro.
http://www.youtube.com/watch?v=rp39kUJSuZg
Temas para serem discutidos em sala de aula
Acesso aos links:
http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/index.php?option=com_content&task=view&id=6&Itemid=18
Uma aula EXCELENTE de Matemática Financeira do Professor Augusto C. de O. Morgado, está disponível em http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2007. NÃO DEIXE DE ASSISTIR!!!
Recomendamos também as aulas da disponíveis no Portal do Professor:
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9932
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Taxas
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9939
Outras aulas da Profa. Priscila Marques Dias Corrêa, disponíveis no Portal do Professor e que tratam da Matemática Financeira no Colégio de Aplicação da UFRJ, também podem ser úteis.
Quatro estrelas 2 calificaciones
Denuncia opiniones o materiales indebidos!
25/11/2014
Quatro estrelasBoa tarde. Um excelente trabalho de palno de aula. Facil explicação, tudo bem didático. Boas divisões de assuntos. Bons videos de apoio. Passo a passo do facil ao dificil. Ótimo texto. Facil aplicabilidade.
21/11/2010
Cinco estrelasGostei muito da aula.