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Função Quadrática e Suas Aplicações

 

06/12/2010

Autor e Coautor(es)
Raquel Cupolillo Simões de Sousa
imagem do usuário

RIO DE JANEIRO - RJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rita Maria Cardoso Meirelles, Ivail Muniz Junior, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes, Clayton Gonçalves Silva.

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Ensino Médio Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

A contextualização histórica que permeia o tema.

Aplicações da função quadrática no cotidiano.

Manipular gráficos utilizando o Software Nippe Descartes para explorar as formas de apresentação da função e suas características.

Duração das atividades
3 aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Distância entre dois pontos

Fatoração

Valor Absoluto ou módulo

Estratégias e recursos da aula

Professor, para realizar essa aula, encaminhe primeiramente os alunos ao laboratório de Informática, e peça que se acomodem em, no máximo, três alunos por computador.   

    

História e a função quadrática:

O artigo  Por que os nomes elipse, parábola e hipérbole? visa mostrar, de maneira interessante para a turma, a origem de cada uma. Acesse o recurso do portal:   http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_3.pdf   e faça as adaptações para se adequarem à realidade da sua sala de aula.

Obs. Este é o primeiro artigo deste arquivo.

Figura 1: Imagem editada pela autora a partir de  http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_3.pdf   

Através das simulações cujos links estão abaixo a turma visualizará que a parábola é gerada ao intersectarmos o cone com um plano paralelo à sua geratriz.        

Acesse: 1 . http://demonstrations.wolfram.com/ConicSectionsTheDoubleCone         

            2 . http://demonstrations.wolfram.com/IntersectingARotatingConeWithAPlane          

Figura 2: Imagem editada pela autora a partir de http://demonstrations.wolfram.com/ConicSectionsTheDoubleCone   

Peça para a turma acessar http://www.uff.br/cdme/conicas/index.html  e trabalhe as atividades 4 e 5 deste site, referentes a parábola.   

Figura 3:  Imagem editada pela autora a partir de http://www.uff.br/cdme/conicas/index.html    

Reserve aproximadamente 20 minutos para esta parte da aula.     

   

A ligação entre as parábolas e as antenas parabólicas, é mostrada no artigo Por que as antenas são parabólicas?.  Além desta conexão também são mostrados outros exemplos, tais como os espelhos dos telescópios e dos faróis dos automóveis. Acesse o recurso do portal:  http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_3.pdf  e faça as adaptações para se adequarem à realidade da sua sala de aula. 

Obs. Este é o segundo artigo deste arquivo. 

Figura 4:  Imagem editada pela autora a partir de http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_3.pdf 

Solicite que a turma reflita sobre o mundo à sua volta e resgate outras situações do cotidiano onde a função quadrática é utilizada, promovendo a seguir uma troca de ideias sobre o tema.

Peça que os alunos acessem a Internet e pesquisem. Deixe que eles explorem por um tempo de aproximadamente 15 minutos. Em seguida, estabeleça um momento para que cada aluno (ou grupo) exponha a pesquisa feita.  

 

De forma a dinamizar o seu trabalho, acesse previamente o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/FQuadrAluno.pdf. Tire cópias do arquivo e distribua um exemplar para cada aluno. Este arquivo contém todo o material necessário ao desenvolvimento da aula. 

Os alunos desenvolverão o encaminhamento para os resultados no caderno.

Reserve em torno de 15 minutos para as atividade de 1 a 6 e 25 minutos para a atividade 7.

Nesta aula você poderá utilizar outra ferramenta para facilitar o entendimento da sua turma, trata-se do software Nippe Descartes, cujas atividades propostas promovem a interação com o objeto de estudo.

Nota: As informações sobre este software estão nos Recursos Complementares.

Atividade 1:

Dedução da equação da parábola de vértice na origem do sistema cartesiano       

Professor, utilize o conceito de distância já trabalhado no artigo Por que as antenas são parabólicas? na parte de interdisciplinariedade, para desenvolver no quadro de giz, junto com a turma, o raciocínio que leva à equação da parábola. 

Para esta dedução consideraremos o eixo de simetria da parábola coincidente com o eixo Ox.       

Considere P = (x, y), F = (0, p/2) e P’ = (x, -p/2). Temos, D(P,F)=d(P,P’).

     

                             Figura 5: Dedução da equação e gráfico da parábola-Imagem da autora                                          

Os resultados acima representam a equação da parábola de vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo dos y. Observe que comparando com a lei de formação dada inicialmente temos que a=1/(2p), portanto a parábola pode ser representada também como y=ax2.    

Atividade 2: 

Estudo da variação do coeficiente a na equação y=ax2       

Utilize a atividade abaixo objetivando fazer com que o aluno perceba a influência da variação do coeficiente a no gráfico da função quadrática.       

Peça aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FunQuadr2.html e iniciem a atividade.    

Figura 6: Coeficiente a - Imagem da autora       

Permita a eles manipular, fazer descobertas e responder aos questionamentos.Verifique então as respostas dadas pela turma.

a) a > 0 - concavidade voltada para cima                   a < 0 - concavidade voltada para baixo

b) A parábola se degenera, isto é, se transforma numa reta.  

c) Conforme os valores do módulo, ou valor absoluto, de a aumentam, a abertura da concavidade da parábola vai diminuindo.

d) Quando os valores de a aumentam os de p diminuem, diminuindo também a distância entre o foco e a diretriz. O efeito que isto produz é a parábola “fechar”. Quando os valores de a diminuem, os de p aumentam, aumentando também a distância entre o foco e a diretriz. O efeito que isto produz é a parábola “abrir”. 

Atividade 3:

Explorando o software para visualizar as características de uma função quadrática

Sugerimos que a parábola, representação gráfica da função quadrática, seja apresentada a partir da representação de seus elementos no plano cartesiano.               

Utilize a atividade abaixo para construir com a turma a definição de parábola observando suas características através da interação com a cena dada.

Figura 7: Parábola - Definição - Imagem da autora

Para realizar esta atividade acesse: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FunQuadr1.html          

Uma forma de representar a função quadrática f real:  é f(x)= ax2 +bx+c para todo x real onde a, b, c também reais são constantes com a ≠ 0. O lugar geométrico dos pontos que satisfazem a lei de formação da função definida anteriormente é uma Parábola.

     

a) O rastro deixado formará o lugar geométrico em questão.

b)  A relação que deve ser encontrada é d(F,V)=d(V,d)=p/2

c) O valor de p deve ser zero (p=0).

d) Observe que p não deve ser zero, pois caso o fosse, a parábola se degeneraria, isto é, se transformaria numa reta.   

e) A equação da reta diretriz é dada por d=-p/2.  

f)  O eixo da parábola e a diretriz são perpendiculares.   

g) A parábola é simétrica em relação ao seu eixo, por este motivo podemos nos referir a esta reta como eixo de simetria da parábola.

Comentário: Depois desta atividade a turma já é capaz de formalizar o conceito de parábola.    

Definindo Parábola: Professor, apresente utilizando o Data Show, uma definição de parábola.

      

              Consideremos um plano, uma reta d e um ponto F não pertencente a d.

              A parábola é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de F e d, sendo F não pertencente a d.         

              Logo, P eqüidista de F e d, isto é, d(F,P)=d(P,d), P pertence à parábola.         

Conclua esta etapa mostrando que o vértice é o ponto de interseção da parábola com seu eixo de simetria e também que o mesmo é o ponto mais próximo da diretriz.  

Atividade 4:

Estudo da variação do coeficiente b na equação ax2+bx 

 Solicite a turma que acesse o link abaixo para iniciar a atividade:   http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FunQuadr3.html  

Figura 8: Coeficiente b - Imagem da autora

Comentário: Professor, caso se faça necessário antes de chegar neste último resultado estimule a turma a experimentar diferentes valores para os coeficientes a e b.

Deixe que eles a explorem e em seguida, questione sobre as descobertas feitas pela turma, verificando se os alunos apreenderam, com êxito, os conceitos trabalhados.

a) i)  a=1; b=0.         ii)   a=1; b=1.          iii)  a=1; b= - 4.       iv)  a= -1; b=3.

b) O gráfico sofre quando a é positivo:

  • Uma translação horizontal para esquerda, quando b é positivo;
  • Uma translação horizontal para direita, quando b é negativo.

c) O gráfico sofre quando a é negativo:

  • Uma translação horizontal para direita, quando b é positivo;
  • Uma translação horizontal para esquerda, quando b é negativo.

d) Esta função translada duas unidades para a direita e 4 unidades para baixo.            

e) A translação horizontal é dada por –b/2a e a vertical por f(-b/2a).   

Atividade 5:

Forma Fatorada  f(x)=(x-m)(x-n)

Peça a turma que acesse o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FunQuadr4.html   

e inicie a atividade. 

Figura 9: Imagem da autora

Comentários: Neste momento podemos transmitir para a turma que estes dois valores de x são conhecidos como raízes da equação. 

Professor, peça a turma para desenvolver nesta atividade, o item 3 da letra a para perceber como o coeficiente c é obtido e sua influência no gráfico. A turma deve concluir que para encontrar a ordenada do vértice, basta substituir a abscissa do vértice na lei de formação da função.

Estimule os alunos a manipular, fazer descobertas e responder aos questionamentos. Verifique então as respostas dadas pelo eles.

a)  i)  a=1; m=-1; n=2; k=0.                           ii)  a=2; m=-1; n=2; k=0.            iii)   a=2; m=-1; n=2; k=1.  

b) Representam os valores de x onde f(x)=y=0, isto é, são os valores das abscissas onde a função corta o eixo x.  

c) A abscissa do vértice é o ponto médio de m e n, ou seja, xv=(m+n)/2 .

d) Quando multiplicamos a lei de formação da função por um número positivo k, a abertura da parábola irá variar proporcionalmente (k.a), assim como a translação vertical (k.c). Quando multiplicamos a lei de formação da função por um número real negativo, a abertura da parábola continuará variando proporcionalmente, porém a concavidade da mesma irá se voltar para baixo, além disso também continuará havendo uma translação vertical, porém no sentido oposto. Em ambos os casos as translações horizontais são preservadas.   

Atividade 6:

Forma Canônica 

Utilizando a idéia de completamento de quadrados, iremos encontrar a fórmula para resolução da equação do 2º grau. Observe que toda equação do segundo grau pode ser escrita da forma ax2 +bx +c = 0 , com a>0. Daí:

      

Figura 10: Completamento de quadrados - Imagem da autora

Aplique este procedimento ao item 3 trabalhado na letra a da atividade 5 que ficará na forma y= 2x² - 2x – 4, também é importante pedir para a turma representar esta função graficamente no caderno para deixar registrado que os valores encontrados para x na resolução da fórmula canônica, são exatamente as abscissas dos pontos onde a função “intercepta” o eixo x.   

 

      A atividade a seguir pode assumir o papel de um desafio ou ainda uma avaliação.

       Professor, previamente acesse o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/ExerAula4.pdf , tire cópias e distribua para os alunos que permanecerão em sala de aula.

Atividade 7:

Resolução e Correção de Exercícios

Peça aos alunos que se dirijam para a sala de aula, e distribua a atividade . Informe aos alunos que esta atividade tem como objetivos solidificar o conteúdo abordado trabalhado.

Figura 11: Imagem da autora

Permita a turma fazer descobertas e responder aos questionamentos. Peça aos alunos que relatem as suas descobertas e desenvolva no quadro de giz com a participação da todos as soluções encontradas.           

      

Recursos Complementares

Nome

Tipo

Interação com Mathlets gerados pelo software Nippe Descartes

 Software Educacional

Interação com Simulações do Wolfram Demonstrations Project

 Simulações e Animações

Página do Projeto Fundão: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/ 

Para visualizar as atividades o professor deve:

1.    Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/  

2.    Baixar o arquivo contendo as atividades.  

 Site consultado:

  1. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/brevehistoria.htm#Menaecmus1    

Veja também as seguintes aulas sobre este assunto:

Avaliação

      Tal avaliação deve ser feita ao observar as dúvidas dos alunos durante a realização das atividades sugeridas acima onde o professor terá a oportunidade de verificar o nível de entendimento ao circular pelos alunos durante a execução das atividades e também confirmar se o processo de construção do conhecimento foi concluído de maneira sólida através da correção, onde o professor perceberá como a turma se expressa sobre os conceitos.

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