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Matemática Financeira - Taxa real e taxa aparente

 

27/11/2010

Autor e Coautor(es)
Armando Freitas Tramontano
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RIO DE JANEIRO - RJ ESCOLA ALEMA CORCOVADO - EXPERIMENTAL

Rita Maria Cardoso Meirelles, Ivail Muniz Junior, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes, Clayton Gonçalves Silva, Raquel Cupolillo Simões de Sousa.

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Contabilidade
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Operações Administrativas
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Operações Financeiras
Ensino Médio Matemática Números e operações
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Vendas
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Operações Comerciais
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Transações Imobiliárias
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

a diferença entre taxa real e aparente

que uma taxa está sempre referida a um período. Taxa e tempo são inseparáveis.

que a rentabilidade proporcionada pelos investimentos é afetada pela inflação, por exemplo, e como matematicamente isso acontece.

a analisar o impacto da inflação e da variação cambial no poder de compra das pessoas e empresas.

Duração das atividades
Previsto para duas aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Porcentagem;

Fator de atualização. (É importante que o aluno saiba que um capital C, aumentado de uma taxa i, fica multiplicado por (1+i). Aulas sobre o tema:

Porcentagem e o eixo das setas. 

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=24039

Juros Compostos e P.G. 

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=24132

Estratégias e recursos da aula

A matemática mostrando que as aparências enganam!   

Prezado professor! Esse assunto é muito interessante e raramente abordado no Ensino Médio e muito menos no Ensino Fundamental, apesar da matemática para se compreendê-lo ser elementar.

Primeiro precisamos entender uma coisa: os nomes das taxas se referem essencialmente ao poder de compra, ou seja, real e aparente se referem, portanto, à capacidade do dinheiro realmente ou aparentemente comprar.   

A taxa aparente é aquela que é apresentada pelo investimento, pelo aumento de salário, pelo crescimento do PIB, etc. Assim, um investimento que rende 20% ao ano tem uma taxa aparente de 20% ao ano. Por que aparente? Porque aparentemente, o valor inicialmente aplicado é capaz de comprar 20% a mais. Mas isso é falso! Se a inflação, por exemplo, for de 8% ao ano, fica claro que sua capacidade de compra não aumentou em 20%. E aí vem a Matemática. De quanto aumentou sua capacidade de compra? O pensamento natural é subtrair as taxas. As pessoas pensam assim, e talvez, até professores de Matemática (com anos de experiência!) também pensem. Mas subtrair não resolve esse problema. Vejamos um exemplo.   

Suponha que você tenha hoje R$ 1000,00 e que um produto A custe, hoje, R$ 1,00. Você investe esse dinheiro, e um ano depois, ele rende alegres 20%. Entretanto a inflação nesse período, para esse produto, foi de 8%. Assim você está mais rico, com R$ 1200,00 no bolso, mas o produto está mais caro e custa R$ 1,08. Qual foi o aumento do poder de compra desse produto, ou seja, quantos produtos a mais você poderá comprar? Para isso basta comparar o antes e o depois. Uma simples divisão é o suficiente. Antes poderia comprar 1000 produtos. Agora pode comprar 1200/8 = 1111 produtos, aproximadamente. Assim, seu poder de compra aumentou em 11,1% aproximadamente! Incrível não?   

Conclusão: APARENTEMENTE você estava 20% mais rico. Mas, REALMENTE você está apenas 11,1% mais rico! As aparências enganam, não?     

Um cuidado: Em muitos livros, jornais, artigos econômicos, e outros meios, a taxa aparente é chamada de taxa nominal! Há uma confusão de definições e, para saber do que os economistas estão falando, cada contexto precisa ser analisado. Aqui nessa aula, não teremos problemas. Mas é importante ter consciência dessa variedade de definições para compreender, por exemplo, informações econômicas veiculadas em jornais, revistas, etc.

As atividades abaixo apresentam algumas situações, como a apresentada acima, envolvendo os conceitos de taxa real e taxa aparente. Vamos à aula!

ATIVIDADE 1

Nessa atividade analisaremos a valorização real e aparente do salário mínimo no Brasil, em relação a alguns produtos.

Você também pode aproveitar essa atividade para convidar um professor de história para desenvolver um trabalho interdisciplinar sobre o tema.

  • Mostre o gráfico abaixo e peçam para descreverem o que percebem no período.

Disponível em http://www.dieese.org.br/esp/notatec86SALARIOMINIMO2010.pdf - Acessado em Outubro de 2010.

  • Apresente a tabela abaixo.

 

Disponível em http://www.dieese.org.br/esp/notatec86SALARIOMINIMO2010.pdf - Acessado em Outubro de 2010. 

  • A seguir apresentamos algumas sugestões de questionamentos. Essas perguntas podem ser escritas em folhas de cartolina e espalhadas na sala de aula. Os alunos divididos em grupos, cada um próximo a um cartaz. Assim cada grupo ficaria responsável pela resolução de um dos problemas.

a) Qual foi a variação percentual do valor do Salário mínimo de Março de 2008 para Fevereiro de 2009?   

b) Qual foi a variação percentual do valor do INPC de Abril de 2002 para Abril de 2003?   

c) Qual foi a variação percentual do valor do Salário mínimo de Abril de 2002 para Janeiro de 2010? Porque a soma dos percentuais da 2ª coluna não é igual à variação total? A tabela está errada? Explique!   

d) O que é INPC? Por que esse índice é importante e considerado nessa tabela. Discuta isso com seu professor e seus colegas. Uma boa fonte é http://www.portalbrasil.net/inpc.htm 

Considere a frase: “Se no período de 2002 a 2010, o salário aumentou 155% e os preços subriam em média 66% aproximadamente, então o aumento real foi de 155% - 66% = 89% no período.”   

e) A informação acima está coerente com os dados apresentados na tabela?   

f) Porque o ganho real foi de 54% aproximadamente?   

DICA: Para tentar responder à pergunta anterior, faremos uma simulação. Considere que um produto P custasse R$ 1,00 em 2002, em Maio de 2002  

g) Quantos produtos P ele poderia comprar em Maio de 2002?  

h) Qual o preço do produto em 2010, utilizando uma taxa de aumento igual ao INPC?   

i) Quantos produtos P ele poderia comprar em Fevereiro de 2010?     

j) Agora compare quantos produtos ele poderia comprar antes (2002) e depois (2010), calculando qual aumento percentual dessa quantidade de produtos. Esse valor está na tabela?

“O valor médio de comercialização de 1 kg nas capitais do Brasil foi de R$ 1,85 entre janeiro e junho, segundo levantamento do Instituto Rio Grandense do Arroz (Irga), com base em dados do Dieese. Em 2003, por exemplo, para adquirir 1 kg do produto, o consumidor gastava, em média, R$ 2,72. Apesar de ser um dos itens que mais subiram na cesta básica, o arroz contribui com apenas 2,3% do valor total da cesta porto-alegrense. Já em São Paulo, a participação do arroz sobe para 2,6%.” Portal do Instituto Riograndense de Arroz. Matéria de 28/10/2008. Disponível em: http://www.irga.rs.gov.br/index.php?action=newsletter_detalhe&id=65 

k) Comparando o preço do Kg do arroz de 2003 e 2008 com os respectivos salários de 2003 e 2008, quantos Kg de arroz a mais um consumidor poderia  comprar, em cada época?   

l) Qual o foi o aumento percentual do poder de compra de arroz de uma pessoa que ganha um salário mínimo, de 2003 para 2009?   

m) Comparando o aumento real encontrado agora, com o calculado nas questões anteriores, podemos concluir que o aumento real pode ser maior ou menor que o aumento aparente? Justifique sua resposta.

  • Quando todos concluirem suas resoluções, troque os grupos de lugar de modo que cada um pegue um segundo problema para resolver. Dê um tempo para eles tentarem resolver o novo problema. Depois, para a socialização das respostas, escolha um grupo para começar a explicar a solução do segundo problema por ele resolvido. O grupo responsável inicialmente por este problema deverá informar se a solução está certa ou não, corrigindo-a no segundo caso. A partir daí, o grupo responsável pela correção apresentará sua solução para o segundo problema resolvido por ele e assim sucessivamente até que todos os grupos tenham apresentado suas soluções.
  • Uma variação possível para esta atividade é distribuir todas as perguntas para todos os grupos, mas deixar cada grupo responsável pela apresentação para a turma de uma solução. Neste caso a dinâmica de socialização das soluções deverá ser outra. 

ATIVIDADE 2

Nessa atividade veremos como os conceitos de taxa real e aparente estão relacionados ao impacto da cesta básica em uma boa parte da população que ganha salário mínimo.   

Sugerimos ao professor que obtenha mais informações sobre a cesta básica. Duas boas fontes de informação estão descritas abaixo:

1) http://www.dieese.org.br/rel/rac/cesta.xml  

Nesse endereço o professor encontra tabelas das cestas básicas nas 17 capitais pesquisas e a cesta básica nacional, por item da cesta e por mês. Uma das tabelas apresentadas abaixo foi retirado desse endereço.

2) http://turandot.dieese.org.br/bdcesta/metodo.pdf     

Esse é um arquivo traz o documento: Cesta Básica Nacional – Metodologia, que apresenta a metodologia da pesquisa de preços e do cálculo da cesta básica nacional e de dezesseis capitais brasileiras. O documento é muito bem escrito, trazendo explicações acessíveis e deve ser lido antes pelo professor.

 O professor pode utilizar diferentes materiais para ampliar a informação sobre esse assunto. No site da TV Escola há um vídeo sobre educação fiscal e dois arquivos contendo informações a respeito de como utilizar o vídeo. Este vídeo narra de forma bem-humorada a criação dos tributos sob a perspectiva histórica. Da pré-história aos dias atuais, o programa faz um resumo da história dos nossos impostos: Lideres de Tribos, Faraós, Reis, Imperadores, Presidentes. Como o dinheiro surgiu? Como eram as tributações? Para o que serviam os impostos? E como chegamos ao conceito de educação fiscal ligada a cidadania e democracia

http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=3003    

Recomendamos o uso do material disponibilizado no site da TV Escola:

Disponível pelo link:

Tributos, Que História é Essa! Proposta interdisciplinar.  

(http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/download_aulas_pdf/Sala/sala_tributos_que_historia_e_essa.pdf

    

  • O professor, ao falar de Salário Mínimo e Cesta básica pode pedir para os alunos pesquisarem o que seria minimamente necessário para o consumo de uma família de três pessoas. Este é um excelente ponto de partida. Se for esta a sua opção, procure solicitar esta pesquisa com uma semana de antecedência, não mais do que isso. Caso contrário, apenas apresente o texto e a tabela indicados a seguir.

Qual a relação entre salário mínimo e cesta básica?

     Com o valor do salário mínimo em R$ 510,00 e a cesta básica de janeiro estimada em R$ 228,19 (mesmo valor de dezembro/2009), estima-se que o mínimo terá, então, um poder de compra equivalente a 2,23 cestas básicas (cesta básica calculada pelo DIEESE, que indicar o valor do Salário Mínimo Necessário). 

Disponível em http://www.dieese.org.br/esp/notatec86SALARIOMINIMO2010.pdf - Acessado em Outubro de 2010.

  • A seguir apresentamos algumas sugestões de questionamentos que devem ser feitos oralmente a turma. As respostas devem ser dadas oralmente e, se possível, com a participação dos alunos.

a) Qual foi a variação percentual da cesta básica de 2002 a Janeiro de 2010? 

b) Considerando a variação percentual do salário mínimo NACIONAL, determine o aumento real no poder de compra da cesta básica no período.  

c) Porque esse aumento real é diferente do aumento real calculado na atividade anterior?

Comentário: O INPC nos fornece uma média, mas o impacto da inflação depende do tipo de consumo e necessidades de cada família.   

d) Considere que no orçamento de uma família, os gastos com saúde representem 25% da renda. Considere ainda que em um ano, houve um aumento médio de 20% no custo com saúde, e que no restante do consumo, houve um aumento igual ao INPC. Se a família teve um aumento de salário de 10%, e o INPC no ano ficou em 4% (igual ao de 2010, aproximadamente) qual foi o aumento real do poder de compra dessa família?

ATIVIDADE 3

Nessa atividade, temos uma investigação que mostra como a variação cambial altera o poder de compra e qual é a relação disso com as taxas reais e aparente.

  • Divida a turma em grupos.
  • Peça os alunos para acessarem o site abaixo para perceberem como foi a variação do dólar na última década. Ajude-os a perceber que a nossa capacidade de compra é afetada por essa variação porque muitos dos produtos que consumimos são importados.http://veja.abril.com.br/idade/exclusivo/perguntas_respostas/valorizacao_real/index.shtml#1 
  • Proponha o problema abaixo para ser analisado e investigado. As perguntas incentivam o debate, o questionamento e a investigação. Não basta simplesmente resolver o problema. Se necessário, peça aos alunos que escrevam as conclusões das discussões de cada pergunta, estipulando um número mínimo de linhas para resposta.

O sonho de consumo dos adolescentes no próximo ano será o "MP 20" (aparelho eletrônico "ultra-mega-moderno"). Para atender à procura, as importadoras precisarão reforçar seus estoques. Considere que a empresa R3I importava, em dólar, 24 aparelhos "MP 20" a um custo total de R$ 36.000,00. Com a valorização do dólar em relação ao real, mesmo que o preço dos aparelhos não varie, em dólares, compram-se menos aparelhos dispondo-se da mesma quantia em reais.

Fonte da Imagem: http://eduardo.tetera.com.br/2008/10/a-nota-de-um-dolar-apos-a-crise-financeira-mundial 

Considerando que no mês de Outubro a alta do dólar foi de 20% em relação ao real, e que o preço do MP20 em dólares não variou, responda às questões abaixo.   

a) O que significa a expressão “... a alta do dólar foi de 20% em relação ao real”. Por exemplo, se 1 dólar valesse 1 real, e sofresse um aumento de 20%, um dólar passaria custar quantos reais? E com um real, quantos dólares eu compraria agora?   

b) Considere ainda a relação de 1 dólar para 1 real. Uma pessoa tinha 1000 reais e comprou dólares antes do aumento. Outra pessoa tinha 1000 reais e comprou dólares depois do aumento. Quantos dólares cada uma comprou?

c) Qual o novo custo (em reais) para a importadora de um MP 20 após a alta do dólar mencionada?     

d) Quantos aparelhos a menos a importadora poderá comprar com os mesmos R$ 36.000,00?     

Considere nos itens e, f, g e h que a empresa não repassará o aumento do dólar para o preço dos produtos.   

e) Se as vendas da empresam aumentarem em 40% durante um ano, qual o aumento real percentual da receita da empresa com a venda desse produto, considerando uma valorização de 20% do dólar em relação ao real.   

f) Qual o fator de aumento das vendas, no item anterior? E qual foi o fator do aumento do dólar?     

g) Dividindo esses fatores, obtemos um novo fator. Qual é a relação desse fator, com a taxa encontrada no item d? Explique porque isso acontece.     

h) Qual foi a taxa aparente do aumento da receita pela venda dos aparelhos MP20? Considerando a desvalorização do real, qual a taxa real do aumento da receita?     

i) Se a empresa resolvesse aumentar o preço dos produtos em 10% para o consumidor aqui no Brasil, para minimizar a alta do dólar, qual seria o novo aumento real percentual da receita?

a) Se 1 dólar valia 1 real, com a alta, temos 1 dólar valendo R$ 1,20. Com isso, com 1 real, eu consigo comprar 0,83 dólares. Atente para essa conta:

1,00/1,20 = 0,83 dólares.

b) U$ 1000,00 e U$ 833,33 respectivamente.

c) R$ 1.800,00.

d)  4 aparelhos a menos.

e) Observe que o preço para a importadora aumentou em 20%, apesar de não ter sido repassado para o cliente. Por outro lado, a importadora vende 40% a mais. Assim, entram 40% a mais de dinheiro, mas o produto está 20% mais caro, logo o ganho real para a importadora foi de  1,40/1,20 = 1,1667 vezes, o que corresponde a 16,67%. Outra forma de pensar: Vendia 150.000 reais e comprava 100 aparelhos para revender. Agora eu vendo 40% a mais, logo vendo 210.000 reais. Mas o aparelho custa 1800, logo consigo comprar 116,67 aparelhos. Como o preço para o consumidor não aumentou, minha receita cresceu 16,67%, em relação ao que vendia antes.  

f) 1,4 e 1,2 respectivamente.

g) Uma das soluções do item e antecipa essa resposta. 1,40/1,20 = 1,1667.

h) A taxa aparente do aumento de receita é de 40% no período. A taxa real foi de 16,67% no mesmo período.   

i) Se os produtos aumentaram 10%, a receita, para a importadora com esse produto crescerá 10%. Logo teremos (1,40 x 1,1)/1,20 = 1,2833 vezes mais vendas, o que dá um aumento real de 28,33%.

Recursos Complementares

Vídeos relacionados ao consumo e orçamento das famílias.

http://www.youtube.com/watch?v=51mbDDhq9gQ    

Planejamento Financeiro.

http://www.youtube.com/watch?v=rp39kUJSuZg    

Uma aula EXCELENTE de Matemática Financeira do Professor Augusto C. de O. Morgado, está disponível em http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2007. NÃO DEIXE DE ASSISTIR!!! 

Portal do Professor: outras aulas relacionadas ao tema

Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos       

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9932       

Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Taxas   

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9939      

Outras aulas da Profa. Priscila Marques Dias Corrêa, disponíveis no Portal do Professor e que tratam da Matemática Financeira no Colégio de Aplicação da UFRJ, também podem ser úteis.

Avaliação
  • Avaliação individual. Aplicar problemas e situações em que o aluno mostre como utilizar os conceitos apresentados para atacar e resolver situações financeiras.
  • Avaliação coletiva.  

Resolução de problemas que requeiram pesquisa de informações na Internet, seguida de análise e apresentação das soluções. Um excelente tema é o método de cálculo da cesta básica.

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