Calcular aumentos sucessivos com o auxílio do diagrama das setas.

2 aulas de 50 minutos cada

Reconhecimento e operação com frações.

Porcentagem como fração de denominador 100.

Representação decimal para porcentagem.

Noção de juros simples.

Noção de juros compostos.

Representação do conjunto dos reais na reta numérica

A matemática financeira estuda o valor do dinheiro no tempo. O segredo para transformar a matemática financeira tradicional em aplicada é conseguir examinar os "produtos" financeiros existentes nos mercados financeiros e de credito sob a ótica de "fluxos de caixa", isto é, dissecar cada produto transformando-os em fluxo de entrada para compará-lo com o fluxo de saída.

 A primeira atividade terá como objetivo principal aproximar os alunos dos termos comuns no linguagem comercial e bancária. A atividade 2 fará uso de alguns destes termos para apresentar uma forma de organização para resolução de problemas. A partir da atividade 3 os alunos poderão aprofundar o conhecimento relativo aos conceitos apresentados.

Atividade 1

A seguir apresentamos algumas palavras usadas normalmente nas negociações comerciais e bancárias.

Prestação - Carnê - Caixa - Banco - Entrada - Vencimento - Juros - à vista - a prazo - Rendimento - Investimento - Poupança -

Elabore um texto articulando todas as que você conhecer e crie uma lista com as que você não conhece, escrevendo, com suas palavras os significados que você atribuiria a esses termos.

Obs: Note que essas palavras são utilizadas nas situações do cotidiano e, portanto, mesmo que não se saiba exatamente o significado você terá que lidar com estes termos.

 

O trabalho é individual, inicialmente o professor escreve no quadro (ou leva escrito em cartolina e afixa no quadro) algumas palavras comuns na linguagem comercial e bancária. Os alunos deverão elaborar um texto com todas as palavras apresentadas e que eles conhecerem. As palavras que eles não conhecerem devem ser postas em uma lista indicando o que eles acreditam que signifiquem.

Em seguida, sugira a divisão em grupos de 4 ou 5 alunos. Em cada grupo os alunos deverão ler seus textos e em seguida observarem quais os termos que nenhum membro do grupo sabe o que significa. Eles também devem comparar os significados por eles atribuídos inicialmente, observando as diferenças e aproximações. Ao final, cada grupo deverá escolher um texto e uma lista de termos, para ser representativa do grupo.

Em seguida, cada grupo deverá apresentar para a turma toda o texto escolhido. Após a leitura de todos os textos dos grupos, o professor deverá escrever a lista dos termos que os alunos não sabem o significado. Ao final, o professor explicará o significado destes termos remanescentes.

Atividade 2

1º ) Professor, providencie cópias da folha de atividade disponível no link:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/Atividade02PorcentagemEixodasSetas.pdf 

2º ) A seguir, peça para os alunos lerem em voz alta até o parágrafo anterior a tabela.

O segredo para transformar a matemática financeira tradicional em aplicada é conseguir examinar os "produtos" financeiros existentes nos mercados financeiros e de credito sob a ótica de "fluxos de caixa", isto é, dissecar cada produto transformando-os em fluxo de entrada para compará-lo com o fluxo de saída.

FLUXO DE CAIXA - É a movimentação de recursos monetários (entradas e saídas de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira num determinado período de tempo. Em termos mais simples, é um recebimento ou pagamento de uma quantia em dinheiro. Pode ser representado de forma analítica ou gráfica.

3º ) Agora escolha uma aluno que queira explicar as informações contidas na tabela.

Tabela 1 - Exemplo de Fluxo de caixa (representação analítica)

Instante	Entradas	Saídas
0	1000,00
1		4000,00
2	2000,00
3		1000,00
4		4500,00

4º ) Após a leitura da tabela explique para os alunos o uso do eixo das setas. Para isso, leia as orientações abaixo e faça o item (a) no quadro negro. Se julgar conveniente, faça variações de exemplos no quadro-negro.

O eixo das setas é um diagrama formado por um eixo horizontal que funciona como uma linha do tempo, e setas verticais posicionadas sobre datas indicando os valores de “entrada” ou “saída” em cada data. O eixo das setas será muito útil nos cálculos de aumentos e descontos sucessivos.

Exemplo de representação gráfica de fluxo de caixa

No diagrama de setas são adotadas as seguintes convenções:

1. O eixo horizontal representa o tempo a partir do instante inicial da operação analisada até o instante considerado final na operação em questão.
2. Nos diversos pontos que representam instantes ao longo do eixo do tempo, são traçadas setas, para cima, representando pagamentos ou prestações. São escritos acima das setas os valores correspondentes.

Veja alguns exemplos:

a) Uma entrada e mais três prestações iguais no valor de R$ 120,00.

5º ) Agora dê um tempo para os alunos tentarem representar as situações indicadas nos itens (b) a (e). Em seguida peça para alguns representarem suas soluções no quadro-negro.

b) Sem entrada e com quatro prestações iguais no valor de R$ 40,00.

c) Sem entrada e em três prestações iguais no valor de R$ 50,00, sendo a primeira com vencimento após dois meses depois da compra.

d) Uma entrada de R$ 120,00 mais três prestações de R$ 50,00.

e) Uma dívida de R$100,00 com pagamento em quatro parcelas, a primeira no ato da compra, com juros de 10% ao mês sobre o saldo devedor.

Atividade 3

O objetivo desta atividade é tornar familiar aos alunos a representação de situações de pagamento parcelado ou a vista utilizando a representação no diagrama das setas.

Divida a turma em grupos de, no máximo, quatro alunos. Enumere os grupos, por exemplo, no caso de uma turma com 40 alunos, teremos os grupos de 1 a 10. Essa atividade será dividida em três etapas:

1ª) Cada grupo deverá escrever, em uma folha de papel A4 (ofício ou de caderno mesmo), oito situações de pagamento. Indicando além dos valores, se há pagamento na entrada, o número de prestações, se os valores das prestações são iguais entre si ou em relação ao valor de entrada. Peça para cada aluno ficar responsável por duas situações.  O grupo deverá ficar atento para que sejam criadas oito situações distintas.

2ª) Propicie uma troca por meio de uma permutação circular de modo que o grupo n dará sua folha ao grupo n+1, para n<10 e o 10º grupo dará sua folha para o primeiro.

Exemplo da Permutação Circular com 5 grupos (imagem do autor).

Efetuada a troca, cada grupo deverá representar em outra folha de A4 os oito diagramas de setas correspondentes a cada uma das situações descritas na folha que receberam. Os alunos devem entregar as duas folhas assim que terminarem. O professor deverá organizar as folhas em duas pilhas respeitando a ordem de término dos grupos. Anote a ordem dos grupos!

3ª) Embaralhe cada pilha separadamente. Em seguida convide dois alunos de cada grupo para pegarem respectivamente uma descrição de situações de pagamento e os diagramas de setas. Agora cada grupo terá um par de folhas e para estabelecer a correspondência correta deverá ser seguido o procedimento. O primeiro grupo lê em voz alta a primeira situação de pagamento. Os demais grupos devem observar qual deles está com o diagrama da situação descrita. O grupo que se apresentar deverá identificar se a correspondência entre a situação descrita e o diagrama das setas está correta, corrigindo-a se necessário. Em seguida repete-se o processo a partir da leitura da primeira situação do grupo que indicou o diagrama. Obs: Essa situação se assemelha àquela vivenciada em brincadeiras do tipo amigo oculto ou amigo secreto. Procure dinamizar esta atividade estimulando a participação dos alunos a resolvê-la o mais rápido possível. Esse processo deverá seguir até ser efetuada a correção completa das oito situações de cada grupo.

Atividade 4

Mostre para os alunos o uso do diagrama das setas para indicar a representação de uma situação na qual o montante M é obtido a partir do capital inicial C, sobre o qual é aplicada uma taxa de juros i.

Obs: Neste caso i representa um valor percetual que pode ser expresso na forma decimal.

C = capital; M = montante; i = taxa de juros ( na forma decimal)

Apresente os próximos dois exemplos.

a) Se uma quantia de R$ 1 700,00 for aplicada a taxa de 5%, no período de um mês qual será o montante apurado?

 

Nota: Comente com os alunos que, dado o valor do montante, o eixo das setas também pode ser utilizado para calcular o capital inicial.

O termo (1+0,05)=1,05 é chamado fator de correção.

b) Um empréstimo foi adquirido pelo período de um mês a taxa de 7% ao período. Na data do vencimento o devedor pagou R$ 1200,00. Calcule o valor emprestado.     

Usando o eixo das setas:

Portanto, o valor emprestado foi aproximadamente de R$ 1 121,49.

Agora é com os alunos!

Aproveite os grupos organizados na atividade 1 e peça a eles para criarem um problema representado pelo diagrama abaixo.

  

Em seguida os grupos deverão trocar os problemas escritos entre si e em seguida determinar o valor do montante. Peça para eles compararem os resultados. Espera-se que os problemas solicitem o cálculo de M. Verifique se algum grupo fez de forma diferente do esperado. Verifique também se todos os problemas enunciados correspondem a situação de um aumento de 8,5% ao mês aplicado em um capital inicial de R$100,00, após o período de um mês.

Atividade 5

Aumentos sucessivos

Apresente aos alunos a seguinte atividade, solicitando que utilizem o eixo das setas e chame a atenção para o fato de não se somar as taxas percentuais!

Se uma mercadoria sofre um aumento de 10% em um mês e outro aumento de 20% no mês seguinte, qual será o percentual de aumento total?

Fonte: NASSER, Lilian. Matemática financeira para a escola básica: Uma abordagem prática e visual – UFRJ/IM – Projeto Fundão   

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/images/stories/matfin.jpg   

Quando tratamos de aumentos ou descontos sucessivos, devemos multiplicar a notação decimal ( e não somar como muitos acreditam ).

 

Sendo P o valor inicial da mercadoria, no primeiro mês seu valor ajustado será de 1,1P. Como no segundo mês haverá outro reajuste, de 20%, o novo valor será   

1,1P x (1,2) = 1,32 P = P + 0,32 P => aumento total de 32%

Mostre para os alunos a solução pela representação gráfica no eixo das setas:

Nota: Em problemas deste tipo é muito útil que se estipule um determinado valor inicial para a mercadoria em questão, pois os alunos têm maior facilidade para manipulá-los. Por exemplo, se o valor inicial fosse de R$ 100,00. No primeiro mês teríamos R$ 110,00 o valor reajustado. E no segundo mês teríamos R$ 132,00 o valor novamente reajustado. Sendo assim, identificamos que o aumento total foi de R$ 32,00, ou seja, 32% comparado ao valor inicial.

Obs. 1: Em Matemática Financeira é importante apresentar atividades variadas e com diferentes níveis de dificuldade, pois é muito comum os alunos interpretarem errado o enunciado de alguns problemas. Veja a atividade 4.

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Introdução

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9918 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9932 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Capitais

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9935 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Taxas

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=9939 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Prestações

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=10063 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Taxa de Juros

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=10069 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12978 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento e o Excel

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=13004 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Sistemas de Amortização

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12982 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Tabela Price e o Planilhas Eletrônicas

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12989 

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: SAC e o Planilhas Eletrônicas

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12991 

Neste momento, o importante é que o aluno saiba identificar o que fazer em dado problema e que saiba também utilizar o eixo das setas para melhor organização de seu trabalho. Portanto, sugerimos algumas atividades que podem evidenciar os tipos de interpretações equivocadas dos alunos em geral:

1. Se forem dados dois descontos sucessivos, um de 5% e outro de 10%, a uma mercadoria que tem preço inicial de R$ 80,00, qual será seu preço final?

Nota: Neste problema é comum que o aluno some os percentuais para depois calcular o preço final.

2. Certo produto, em seis meses, teve seu valor quadruplicado. Qual a porcentagem de aumento sofrido pelo produto neste período?

Nota: Um erro muito comum neste exercício é responder 400%, o que não é correto. Se o valor do produto é p, temos: (1 + i) . p = 4.p => i = 3 => i = 300%.