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Calculando Áreas com a Fórmula de Pick

 

29/06/2012

Autor e Coautor(es)
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Mylene Ribeiro Moura Miranda

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Magalli Germano Sampaio

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Alana Souza de Oliveira

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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VIVIANE SILVA DE ANDRADE

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Jéssyka dos Santos

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Talita Araújo

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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DINA MARA PINHEIRO DANTAS

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Hermínio Borges Neto

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Felipe Guimarães Ferreira

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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IVANEIDE FERREIRA FARIAS

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Diego de Sousa Rodrigues

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

Maria Jéssyka Almeida dos Santos

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Álgebra/Geometria
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

- Identificar polígonos em diversos ambientes do nosso cotidiano e calcular suas respectivas áreas;

- Comparar o cálculo da área de polígonos utilizando as fórmulas usuais e a fórmula de Pick;

- Identificar a aplicação da Fórmula de Pick no trabalho de alguns profissionais da área de Geografia.

Duração das atividades
12 horas/aulas
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

- Figuras planas: características;

- Cálculo da área de triângulos e quadriláteros;

- Unidades de medida de comprimento;

- Escalas.

Estratégias e recursos da aula

ATIVIDADE 1– Polígonos e suas áreas: Onde encontrá-los?

1.1  Familiarizando-se com o tema

Inicialmente, o professor deve ler para a turma o seguinte trecho de um site que aborda a análise da área dos polígonos:

“O cálculo de área é uma atividade cotidiana na vida de todos nós. Sempre nos vemos envolvidos em alguma situação em que há a necessidade de se calcular a área de uma forma geométrica plana. Seja na aquisição de um terreno, na reforma de um imóvel ou na busca de reduzir custos com embalagens, o uso do conhecimento de cálculo de áreas se faz presente. É uma atividade muito simples, mas às vezes deixamos algumas questões passarem despercebidas.”

Fonte: Brasil Escola - http://www.brasilescola.com/matematica/analise-area-dos-poligonos.htm

Em seguida, objetivando a reflexão sobre a utilização do cálculo de áreas no cotidiano, o professor irá propor aos alunos os seguintes questionamentos: Vocês já calcularam áreas de figuras planas fora do ambiente escolar? Em caso afirmativo, qual foi a situação? Em caso negativo, vocês já viram alguém próximo a vocês terem a necessidade de calcular área para desenvolver alguma atividade?

1.2 Conhecendo a atividade

Após a familiarização com o tema, o docente deverá propor a seguinte atividade: os alunos deverão encontrar figuras geométricas presentes no dia-a-dia, seja na forma de imagens em muros ou quadros, ou na forma de objetos concretos e calcular suas respectivas áreas.  A atividade consistirá na elaboração de um vídeo intitulado “Áreas no cotidiano da (o) _______” (esse traço corresponde ao ambiente, profissional, situação, etc., que os alunos escolherem para explorar). A produção do vídeo se desenvolverá em três etapas que serão descritas posteriormente.

1.3 Regras e Recursos da Atividade

A turma deverá ser dividida em cinco grupos e estes nomeados como: grupo 1, grupo 2, grupo 3, grupo 4 e grupo 5. A atividade será desenvolvida em uma área externa, que pode pertencer ou não à escola. Serão utilizados os seguintes recursos: fita métrica, folhas de ofício, lápis e uma câmera digital ou celular com câmera. Obs.: nos recursos complementares há tutoriais para a produção de um vídeo.

1.4 Mãos à obra - 1ª etapa

Esta etapa originará a primeira parte do vídeo, denominada “Área em objetos e imagens”. Inicialmente, o professor deverá propor aos alunos, já divididos em grupos, que busquem, em diversos ambientes, exemplos dos seguintes polígonos: triângulo, retângulo, paralelogramo, trapézio e losango. Cada grupo deverá explicar suas ações para a execução desta etapa da atividade, indicando os locais onde encontraram os polígonos e descrevendo-os a partir da sua definição. Segue uma sugestão de apresentação de um objeto:

“Esta cadeira representa um trapézio, pois a sua base de sustentação contém um quadrilátero em que há pelo menos um par de lados paralelos” (ver figura 1).

FIGURA 1 – Cadeira Trapézio

Fonte: http://www.criadesignblog.com/post/5069/conform-chairs-cadeiras-ultra-minimalistas-que-se-modelam-ao-corpo

 

Em seguida, os alunos deverão calcular a área dos polígonos encontrados anteriormente.Neste momento, cada grupo deverá medir as dimensões das figuras, calcular e registrar numa folha de papel ofício as áreas encontradas através das fórmulas usuais:

Atriângulo= (base x altura)/2

Alosango= (Diagonal maior x diagonal menor)/2

Aretângulo= base x altura

Aparalelogramo= base x altura

Atrapézio= (Base maior +base menor) x altura/2

1.5  Mãos à obra - 2ª etapa

A segunda parte do vídeo será denominada da seguinte forma: “Conhecendo nossa escola”. Esta etapa consistirá em uma apresentação territorial dos espaços da escola, onde os grupos deverão medir e calcular a área dos espaços da escola (ver figura 2), como por exemplo, salas de aula, biblioteca, refeitório, quadra de esportes, cozinha, pátio, salas de administração, etc. Ficará a critério do professor a indicação dos espaços para cada um dos grupos.

FIGURA 2 – Alunos medindo espaços da escola

Fonte: http://www.fapeam.am.gov.br/noticia.php?not=4830

1.6 Sugestões de utilização do material produzido pelos alunos

Esta última etapa visa possibilitar aos alunos uma melhor compreensão do cálculo de áreas em construções civis e uma maior exploração dos espaços e condições do ambiente escolar. Desse modo, o vídeo poderá ser utilizado não somente para o estudo de áreas em sala de aula, mas também como um material que poderá auxiliar os gestores na reflexão sobre melhorias na estrutura física da escola.

 

ATIVIDADE 2: Desenhando polígonos no Geoplano

Nesta atividade serão utilizados os seguintes recursos: folhas de malha pontilhada, folhas de ofício, lápis de cor, lápis e régua. Recomenda-se manter a divisão da turma em cinco grupos.

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

O professor deverá distribuir para cada grupo uma folha com malha pontilhada. Estas estão disponíveis para impressão em http://www.escolovar.org/geoplano_1x1.doc. Os alunos deverão desenhar dois dos exemplos dos polígonos da atividade 1, sempre unindo os pontos, como mostra a figura 3.

FIGURA 3 - Exemplos de polígonos na malha pontilhada

Em seguida, o professor deverá solicitar aos alunos que calculem as áreas dos polígonos desenhados com a chamada Fórmula de Pick (B/2 + I – 1). Desse modo, é importante definir o significado das letras “B” e “I”:

- O número de pontos que ficar na borda do polígono será denotado por B.

- O número de pontos que ficar na parte interna do polígono será denotado por I.

Com os dados obtidos anteriormente, cada grupo deverá preencher a tabela 1 numa folha de papel oficio:

TABELA 1 - Dados dos polígonos na malha pontilhada

FIGURA

I

B

B/2 + I - 1

ÁREA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fonte: Criação do Autor

Em seguida, o professor deverá pedir aos alunos que apliquem a Fórmula de Pick para figura 4.

FIGURA 4 – Polígono Estranho

Fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/02/formula-de-pick-e-aproximacao-de-pi.html

Os grupos deverão expor suas soluções e o modo como as obtiveram, como também as dificuldades encontradas na realização da atividade. Em seguida, o professor deverá propor o seguinte questionamento: “E se, ao decompor o polígono da figura 4 em polígonos menores e em seguida utilizar a Fórmula de Pick para calcular cada uma das áreas menores, e depois somar essas áreas para encontrar a área do polígono maior, o resultado encontrado será o mesmo? Ou seja, será que a Fórmula de Pick satisfaz a propriedade aditiva?”

Para finalizar esta atividade, o professor deverá falar aos alunos que a Fórmula de Pick surgiu para facilitar o cálculo de áreas de figuras não convencionais, como por exemplo, a figura 4, utilizando a malha pontilhada. Sugere-se que todos juntos possam verificar se a Fórmula de Pick realmente satisfaz a propriedade aditiva utilizando uma figura mais simples, como mostra a imagem 5.

FIGURA 5 - Polígono estrelado

Fonte: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/mylinks/viewcat.php?cid=15&min=170&orderby=dateD&show=10

 

ATIVIDADE 3: Aplicação da Fórmula de Pick

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE: Esta atividade será realizada no Laboratório de Informática Educativa. Serão utilizados os seguintes recursos didáticos: computador, software GeoGebra, disponível no Banco Internacional de Objetos Educacionais através do endereço eletrônico http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17984 e uma câmera digital ou um celular com câmera, visto que nesta atividade ocorrerá a produção da terceira parte do vídeo “Importância do estudo de áreas no cotidiano”. Recomenda-se que o professor divida a turma em duplas.

 

 

 

 

 

ORIENTAÇÕES QUANTO AO USO DO SOFTWARE:O GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da Matemática nos vários níveis de ensino, que aborda Geometria, álGebra e cálculo. Para a execução do programa é necessário a instalação do plugin Java.

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE

A atividade consistirá em perceber a aplicação da Fórmula de Pick no trabalho de alguns profissionais da área de Geografia, como cartógrafo e topógrafo. Inicialmente, os alunos deverão fazer uma breve pesquisa sobre o trabalho desses profissionais. Seguem algumas sugestões de sites que tratam do assunto:

Trabalho do cartógrafo: http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/maio/dia-do--cartografo.php, http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/datas/cartografo/profissaocartografo.html e http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/datas/cartografo/depoimentos.html (acessados em 12/06/2012)

Trabalho do topógrafo: http://www.equipedeobra.com.br/construcao-reforma/38/artigo225281-1.asp e http://guia.via6.com/o-que-faz-um-topografo/ (acessados em 12/06/2012)

Em seguida, o professor deverá solicitar aos alunos que indiquem espaços geográficos que são comuns no dia-a-dia do trabalho desses profissionais. Após as respostas dos alunos, o docente deverá propor uma pesquisa de imagens de países, regiões de queimadas, desmatamento, rios, lagos, vistas por satélite, como mostram as figuras 6 e 7.

FIGURA 6 - Lago Municipal de Cascavel

Fonte:

Fonte: http://blogdomaleski.blogspot.com.br/2010/11/shopping-catuai-x-lago-municipal-de.html

FIGURA 7 - Mapa da Itália

Fonte: http://tempolibero2009.wordpress.com

Os alunos deverão colocar essas imagens no GeoGebra com malha pontilhada, como indica a figura 8.

FIGURA 8 - Lago no GeoGebra com malha pontilhada

Fonte: Criação do autor

Para tanto, é preciso seguir alguns passos:

1.      Ao iniciar o software, clicar no menu Exibir e escolher a opção Malha.

2.      Clicar no 10º botão e na 4ª opção (Incluir Imagem).

3.      Clicar em qualquer ponto da tela e selecionar a imagem a ser utilizada.

4.      Clicar com o botão direito do mouse e escolher a opção Propriedades e, na guia Básico, escolher a opção Imagem de Fundo.

5.      Clica-se no botão Fechar.

Assim, a malha pontilhada ficará por cima da imagem, facilitando o desenho dos polígonos.

Nesse momento, os alunos deverão calcular uma área aproximada para estas regiões utilizando o desenho, a Fórmula de Pick e a escala da imagem.

Obs.: Se a imagem não contiver escala, sugere-se que o professor proponha uma.

MOMENTO DO ALUNO

Os alunos buscarão realizar a atividade proposta.

DISCUSSÃO

As duplas deverão expor suas soluções e o modo como as obtiveram. Visando estimular uma discussão sobre aplicações da Fórmula de Pick, o professor deverá propor o seguinte questionamento: “A partir das pesquisas realizadas anteriormente, em quais outras profissões a Fórmula de Pick pode ser aplicada? Como é a sua utilização?”

SISTEMATIZAÇÃO (Mãos à obra – 3ª etapa)

Neste momento, ocorrerá a 3ª etapa de produção do vídeo, intitulada “Importância do estudo de áreas no cotidiano”, que consistirá em um depoimento dos alunos destacando a importância do estudo de áreas no cotidiano e a contribuição da Fórmula de Pick nessa temática.

Recursos Complementares

Sugestões de links para alunos:

https://www.institutoclaro.org.br/ferramentas/editor-de-videos-do-youtube-ser-um-cineasta-nunca-foi-tao-facil/- Site explicando como editar vídeos online no Youtube (acessado em 12/06/2012)

http://www.dma.uem.br/kit/textos/pick/pick-doc.html- Site que aborda a Fórmula de Pick (acessado em 12/06/2012)

http://www.acheiox.com.br/matematica-e-queimadas- Página na internet que aborda o Teorema de Pick no cálculo de áreas de queimadas (acessado em 12/06/2012)

Sugestões de links para professores:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=30282e

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=602– Aulas que abordam o cálculo de área de figuras geométricas utilizando a Fórmula de Pick (acessado em 12/06/2012)

http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/pick2.html- Site que aborda a Fórmula de Pick (acessado em 12/06/2012)

Links do Portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

http://www.clarocurtas.com.br/uploads/cc_miniguia_producao.pdf- Criação de curtas (acessado em 12/06/2012)

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/conteudoJornal.html?idConteudo=387– Como fazer um vídeo e que materiais utilizar (acessado em 12/06/2012)

http://g1.globo.com/Noticias/Tecnologia/0,,MUL1428059-6174,00-APRENDA+A+EDITAR+SEUS+VIDEOS+FACILMENTE+NO+WINDOWS+LIVE+MOVIE+MAKER.html– Tira-Dúvidas – Aprenda a editar seus vídeos facilmente no Windows Live Movie Maker (acessado em 12/06/2012)

http://www.hardware.com.br/dicas/legendas-videos.html- Como colocar legendas em vídeos (acessado em 12/06/2012)

Avaliação

Na atividade 1, recomenda-se ao professor verificar se os alunos conseguiram identificar as figuras geométricas no cotidiano e calcular suas área através das fórmulas usuais. Na atividade 2, recomenda-se averiguar se os alunos compreenderam que a Fórmula de Pick possibilita calcular a área de figuras geométricas não convencionais e que esta satisfaz a propriedade aditiva. Na atividade 3, sugere-se verificar se os alunos compreenderam as aplicações da Fórmula de Pick em algumas profissões.

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