A fim de desenvolver as competências da área 1 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais, bem como desenvolver as habilidades H2, que é identificar padrões numéricos ou princípios de contagem e H3, que é resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos, são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

• revisar a história dos números;
• reconhecer a evolução histórica dos sistemas de numeração; 
• representar os números em diferentes bases, por meio do ábaco;
• identificar a base na contagem dos elementos de um agrupamento;
• estabelecer uma relação entre as bases de numeração;
• realizar mudanças de bases numéricas;
• realizar operações simples (adição e subtração) na base 10 e em outras bases;
• compreender o sistema posicional decimal por meio da generalização e representação em outras bases;
• revisar as operações de adição e subtração dos números naturais por meio do ábaco.

3 horas/aula de 50 minutos

• História dos Números.
• Representação no ábaco. 

Recursos da aula

 

• Apresentação com Data Show.
• Computador com acesso a internet.
• Ábacos (Figura 1).

 

Professor (a) proponha três momentos distintos em sala de aula para o desenvolvimento desta sequência didática. Num primeiro momento, faça uma revisão da história dos números. Segue abaixo, como sugestão, uma aula disponível no portal do professor.  Já no segundo momento, faça a representação dos números em diferentes bases, por meio do ábaco e mostre aplicações de algumas bases. No terceiro momento, faça adição e subtração dos números por meio do ábaco destacando a importância das trocas e por fim, proponha algumas operações, individual ou em grupos, envolvendo as operações de adição e subtração em diferentes bases.

 

PRIMEIRO MOMENTO: História dos Números

Professor (a),  para essa aula, esperamos que os alunos já saibam a história dos números. Antes de iniciar, sugerimos que você acesse  a aula “Um pouco da História dos Números” disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56711 (Acesso em 24 jul. 2014). Sugerimos também a sequência de slides disponíveis em http://www.slideshare.net/aniellevaz/histria-dos-nmeros-e-mudana-de-base (Acesso em 24 jul. 2014). Com auxílio dos slides, conte a história dos números e logo após questione-os:

 

• Os números sempre existiram?
• Além de contar, para que podem ser utilizados os números?
• Quais sistemas de numeração você conhece?
• Quantos e quais são os símbolos do sistema de numeração hindu-arábico?
• É possível representar qualquer número natural utilizando apenas algarismos hindu-arábicos?

 

Dê continuidade aos momentos propostos, agrupamentos, mudança de bases e adição e subtração por meio do ábaco.

 

Professor (a) disponibilize para esse momento um ábaco (figura 1) para cada aluno. Caso a sua escola não possua esse material, propomos, portanto, que você confeccione o ábaco com os alunos, pois existem muitas formas, algumas delas disponíveis no Portal do professor em:

1. http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=49127 (acesso em 12 ago. 2014).
2. http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1826 (acesso em 12 ago. 2014).
3. http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55753 (acesso em 12 ago. 2014).

 

Figura 1- Ábaco de Pinos

Fonte: Arquivo da autora

 

Mostre e explique para os alunos o que é um ábaco de pinos e sua importância na aprendizagem dos conceitos matemáticos.

 

Além disso, explique a eles que para contar grandes quantidades os povos antigos organizaram estas quantidades em agrupamentos que podiam ser de seis, oito, ou outro número qualquer de unidades.

 

Quando olhavam para o ábaco, a haste mais próxima da sua mão direita representava as quantidades que não conseguiram ser agrupadas, e a haste seguinte era para marcar quantos agrupamentos foram possíveis. Assim a posição da haste determinava se estava marcando agrupamentos ou unidades.

 

Não podemos esquecer e falar para os alunos que o corpo humano foi o “instrumento” mais usado para fazer os agrupamentos das contagens. Contudo, muitos povos usavam outros agrupamentos que não eram do corpo humano: os babilônicos usavam como agrupamento, a quantidade de dias de dois meses; os maias utilizaram todos os dedos do corpo (mãos e pés) e os egípcios utilizaram os dedos das mãos, apenas.

 

Na vida dos povos, quanto mais aumentava a relação entre eles, principalmente o comércio, mais eles sentiam a necessidade de ter uma contagem comum. Desta forma a necessidade de escolher um único agrupamento para a contagem foi ficando cada vez maior.

 

Neste momento, questione os alunos:

 

• Qual é o agrupamento que a humanidade escolheu? Por quê?

 

Permita que os alunos criem e compartilhem suas respostas e então conte a eles que ao longo de muitos e muitos anos o homem foi escolhendo o agrupamento que hoje é usado por praticamente todos os povos da Terra.

Trata-se do agrupamento dos dedos das mãos. Esse agrupamento recebeu o nome de DEZENA ou DEZ. Os dedos das mãos formam um agrupamento universal, porque é uma parte do nosso corpo onde as unidades estão bem separadas nos dedos e que está bem à frente dos nossos olhos.

Informe então, nesse momento, que esse e os outros agrupamentos citados, são chamados de base. Essas bases sistematizadas formam sistemas de numeração.

 

SEGUNDO MOMENTO: Agrupamentos – Mudança de base

 

1ª Parte: Base 10 e outras bases

 

Professor (a), defina base numérica e conte um pouco da história do nosso sistema de numeração.

Base numérica: é o número de unidades necessárias que agrupadas têm valor igual a uma unidade de ordem imediatamente superior. A base é igual ao número de algarismos diferentes que usamos no sistema numérico. (Adaptado do site: http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/TN/SistNum.pdf. Acesso em 12 ago. 2014.)

 

Assim, contar:

• na base seis significa fazer agrupamentos de seis unidades.
• na base oito significa fazer agrupamentos de oito unidades.
• na base dez significa fazer agrupamentos de dez unidades.

E assim por diante ...

 

Para contar e registrar é necessário:

1. O nome do número.
2. Símbolos numéricos.
3. Valor dos algarismos.
4. Ordem numérica.
5. Base numérica.

 

Agora, questione os alunos:

• Qual é o sistema de numeração que usamos no dia a dia?

Espera-se que os alunos respondam que é o Sistema de Numeração Decimal.

 

• Quais são as características desse sistema?

Espera-se que os alunos apresentem as seguintes características:

 

1. A base é 10.

2. Os dez algarismos são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0.

3. Em um número, cada casa tem um valor ou uma base 10 => o algarismo representa a freqüência da base.

4. Todo algarismo colocado imediatamente à esquerda de outro representa uma unidade de ordem superior (dez vezes maior).

5. Cada algarismo em um número inteiro tem uma dupla função: ocupa a casa e mostra a freqüência.

 

Comentário: Ressalte com os alunos que o traço marcante do Sistema de Numeração Decimal é o princípio do valor relativo, que significa que o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa. Quando um sistema de numeração utiliza o valor relativo, um número inteiro com maior número de algarismos tem maior valor.

 

Professor (a), comente com os estudantes que apesar desse sistema ser o mais utilizado existem outros que também são muito utilizados no dia a dia, por exemplo, o tempo (base 60), o dia (base 24), entre outros.

Questione novamente os alunos:

• Quais seriam as características na base 60, 12 e 24?

Espera-se que os alunos respondam que se diferenciam pelo agrupamento.

 

Peça aos alunos que representem 10 unidades no ábaco (figura 2) e questione:

• Porque 10 unidades podem ser trocadas por 1 dezena no sistema de numeração decimal?

Espera-se que os alunos respondam que é devido ao sistema, se é de base 10, faremos agrupamentos de 10 em 10.

 

Figura 2- Representação no ábaco

Fonte: Arquivo da autora

 

Agora, coloque aos alunos que apesar desse uso, qualquer número do sistema de numeração decimal pode ser escrito em qualquer outra base. Para que os mesmos possam compreender o processo, proponha que representem as mesmas 10 unidades na base 4, mas antes questione:

• Quais são os algarismos que são usados em um sistema de base quatro?

Espera-se que os alunos respondam que são 0, 1, 2 e 3.

     

Professor (a), junto com os alunos, faça a transposição da base 10 para a base 4, como mostrado na figura 3.

 

Figura 3 - 10 unidades na base 4

Fonte: Arquivo da autora

 

Como atividade, proponha aos alunos que, utilizando o ábaco, escrevam o número dezenove nas bases 12, 8, 5, 3 e 2. Os procedimentos estão descritos nas figuras 4, 5, 6, 7 e 8.

 

Figura 4- Representando em diferentes bases - dezenove na base doze

 

Solicite aos alunos que representem em diferentes bases suas idades e o número do calçado. Permita que eles socializem suas respostas e comparem os respectivos valores.

Explique a importância de algumas bases utilizadas em nosso dia a dia (figuras 9 e 10) e dê exemplos de situações onde é mais conveniente contarmos em grupos diferentes de 10, como por exemplo, as dúzias ao fazer compras, os minutos e horas do relógio, os eventos cronológicos como as Olimpíadas e Copa do Mundo, as eleições e os dias da semana.

 

Figura 9- Sistema Binário - Base 2

Fonte: Sistemas de Numeração, disponível em <http://migre.me/ksiIe>. Acesso em 14 jul. 2014.

 

 

Figura 10- Sistema Hexadecimal – Base 16

Fonte: Sistemas de Numeração, disponível em <http://migre.me/ksiIe>. Acesso em 14 jul. 2014.

 

Para finalizar este momento, peça aos alunos que representem o número 30 na base 16.

Espera-se que eles vejam a necessidade de utilizar o símbolo "E" para representar o 14 (figura 11), pois sem utilizar o símbolo "E" resultaríamos em 30 = (114)_16, e desta forma não saberíamos diferenciar no momento da leitura, é 1 1 4 (um, um, quatro)? É 11 4 (onze, quatro)? É 1 14 (um, quatorze)?

 

 

Figura 11- Base 16

Fonte: Arquivo da autora

 

Professor (a), faça o processo inverso, peça aos alunos que transformem números representados em outras bases para a base 10 (Sistema de numeração decimal).

Questione-os durante o momento das trocas, por exemplo:

• Na base 60, 1 minuto equivale a 60 segundos, então 60 minutos equivalem a quantos segundos?

Espera-se que os alunos relacionem as hastes do ábaco como sendo as horas, no lugar das centenas, os minutos, no lugar das dezenas e os segundos, no lugar das unidades, podendo assim realizar as trocas, fazendo os agrupamentos necessários e verificando que 60 minutos equivalem a 3600 segundos.

 

Proponha outras atividades em que os alunos farão agrupamentos, trocas, somas e subtrações em diferentes bases.

Segue algumas sugestões:

• Escrever o número (85)₉ em base dois, base quatro e base oito.
• A que números na base dez equivalem os seguintes números: (70036)₈; (21002)₃; (354005)₆?
• Dado o sistema de numeração cuja base é 13, empregando os seguintes símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, escrever o número (36078)₉ em base 13. 

 

Permita que os alunos apresentem para os demais colegas suas resoluções e avalie oralmente cada um, fazendo questionamentos sobre quais seriam as melhores estratégias para resolver as trocas propostas.

Sugerimos também as atividades do site “Matemática Muito Fácil”, disponíveis em http://www.matematicamuitofacil.com/naodecimais.html.  

 

TERCEIRO MOMENTO: Adição e Subtração no Ábaco

 

Sugerimos que neste momento, inicie as operações de adição e subtração utilizando o ábaco. Indicamos uma aula do portal, disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=21281, acesso em 05 ago. 2014.

Documentário A História do Número 1. Disponível em <http://migre.me/kscCE>. Acesso em 14 jul. 2014.

Portal do Professor: Ábaco de Haste: construindo e calculando. Disponível em <http://migre.me/ksm5e>. Acesso em 14 jul. 2014.

Portal do Professor: O uso do Ábaco de Pinos nas operações aditivas. Disponível em <http://migre.me/ksm8L>. Acesso em 14 jul. 2014.

Portal do Professor: O uso do Ábaco nas operações aditivas envolvendo os números decimais. Disponível em <http://migre.me/ksm05>. Acesso em 14 jul. 2014.

Problemas envolvendo adição e subtração. Disponível em http://migre.me/ksjOY. Acesso em 14 jul. 2014.

Sistemas de Numeração. Disponível em <http://migre.me/ksiIe>. Acesso em 14 jul. 2014.

Site História dos Números. Disponível em <http://migre.me/kkenE>.Acesso em 14 jul. 2014.

Slides A história dos números e mudança de base. Disponíveis em <http://www.slideshare.net/aniellevaz/histria-dos-nmeros-e-mudana-de-base>. Acesso em 14 jul. 2014.

Vídeo A História dos números. Disponível em <http://migre.me/klQ82>.Acesso em 14 jul. 2014.

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho. Sugere-se, ainda, que o professor avalie os registros das atividades propostas. Por meio deles, o professor pode analisar as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos. Permita que os alunos apresentem para os demais colegas suas resoluções e avalie oralmente cada momento proposto, fazendo questionamentos sobre quais seriam as melhores estratégias para mudanças de bases.